« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions
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Ligne 216 :
<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x \cos x +{\color{Blue}\int e^x \cos x\mathrm{d}x} = -e^x\cos x + {\color{Blue}e^x \sin x - \int e^x \sin x\mathrm{d}x}.</math>
Il suffit alors d'ajouter de chaque côté <math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x</math> et
<math>2\int e^x \sin x \mathrm{d}x = -e^x\cos x + e^x \sin x + C ^;(C\in \R)</math>, d'où
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2} + C \;(C\in \R)</math>}}</center>}}
Ligne 272 :
'''1/ Faire apparaître la dérivée du dénominateur au numérateur''' :<br />
<math>ax+b = \frac{a}{2}(2x+c)+b-\frac{ac}{2}\Rightarrow A(x) = \int \frac{ax+b}{(x^2+cx+d)^n}\mathrm{d}x = \int \frac{\frac{a}{2}(2x+c)+b-\frac{ac}{2}}{(x^2+cx+d)^n}\mathrm{d}x = \frac{a}{2}\int \frac{\mathrm{d}(x^2+cx+d)}{(x^2+cx+d)^n} + \left(b-\frac{ac}{2}\right)\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d)^n}</math>
La seule réelle difficulté qui est apparue est le calcul de <math>\int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+cx+d)^n}</math>.C'est ce calcul que
'''2/ Remplacer <math>x^2+cx+d</math> par sa forme canonique :''' <br />
On obtient <math>x^2+cx+d = \left(x+\frac{c}{2}\right)^2 + d - \frac{c^2}{4} = t^2 + k^2 \mathrm{\;o\grave u\;} t = x+\frac{c}{2} \mathrm{\;et\;} k = \sqrt{d - \frac{c^2}{4}}</math>.<br />
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