« Trigonométrie/Cercle trigonométrique » : différence entre les versions

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Il faut voir le cercle trigonométrique comme un axe, à l'image de l'axel’axe des réels, mais « enroulé » pour donner sa forme circulaire. Ainsi, il nous faut le munir d'un point origine, d’une unité de longueur et d’une orientation. L'origine sera le point <math>I</math> d'abscisse 1 et l'unité de longueur va être la même que celle du repère. Nous poserons comme orientation le sens inverse des aiguilles d’une montre, appelé ''sens trigonométrique''.
 
Le périmètre du cercle <math>\scriptstyle\mathcal{C}</math> est donné par :
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&= 2\pi.
\end{align}</math></center>
Sur l'axel’axe réel, il est bien difficile de placer le point <math>\scriptstyle x = 2\pi</math> mais sur le cercle trigonométrique, les valeurs <math>\scriptstyle 0</math> et <math>\scriptstyle 2\pi</math> se trouvent confondues. Il en est d'ailleurs de même pour <math>\scriptstyle 2\pi,4\pi,-2\pi,-4\pi,\ldots</math>. Nous pouvons aussi placer sans grandes difficultés <math>\scriptstyle \pi, \textstyle\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{4},\scriptstyle\ldots</math>.
 
{{Définition
| contenu =
Une ''abscisse curviligne'' d'un point <math>M_0</math> de <math>\scriptstyle \mathcal{C}</math> est un réel <math>x_0</math> correspondant à une longueur, suivant l'axel’axe trigonométrique, qui sépare <math>I</math> de <math>M_0</math>. Le point <math>M_0</math> possède une infinité d'abscisses curvilignes, toutes de la forme <math>\scriptstyle x_0+2k\pi</math>, <math>k</math> décrivant <math>\scriptstyle\Z</math>.
 
Si <math>M_1</math> d'abscisse <math>x_1</math> est confondu avec <math>M_0</math>, on dit que « <math>x_0</math> est congru à <math>x_1</math> modulo <math>\scriptstyle 2\pi</math> ». On écrit : <math>\scriptstyle x_0\equiv x_1 [2\pi]</math>.}}
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== Sinus, cosinus, tangente, cotangente ==
Ajoutons au repère (déjà bien garni…) deux axes réels :
* l'axel’axe <math>\Delta_1</math>, image de <math>x'x</math> par la translation de vecteur <math>\scriptstyle\vec j</math> ;
* l'axel’axe <math>\Delta_2</math>, image de <math>y'y</math> par la translation de vecteur <math>\scriptstyle\vec i</math>.
 
[[Fichier:Cercle_trigo_3.svg|thumb|275px|Représentation des fonctions <math>\sin</math>, <math>\cos</math>, <math>\tan</math> et <math>\cot</math>.]]
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Soient <math>M</math> un point du cercle trigonométrique et <math>\alpha</math> l'angle associé à l'arc <math>\scriptstyle \overset{\scriptstyle \curvearrowright}{IM}</math>.
 
* Le ''sinus'' de <math>\alpha</math> est l'abscisse, sur l'axel’axe <math>y'y</math>, du point <math>S_1</math>, projeté orthogonal de <math>M</math> sur ce même axe.
* Le ''cosinus'' de <math>\alpha</math> est l'abscisse, sur l'axel’axe <math>x'x</math>, du point <math>S_2</math>, projeté orthogonal de <math>M</math> sur ce même axe.
* La ''tangente'' de <math>\alpha</math> est l'abscisse, sur l'axel’axe <math>\Delta_2</math>, du point <math>T_1</math>, point d'intersection entre <math>(OM)</math> et cet axe.
* La ''cotangente'' de <math>\alpha</math> est l'abscisse, sur l'axel’axe <math>\Delta_1</math>, du point <math>T_2</math>, point d'intersection entre <math>(OM)</math> et cet axe.
 
On les note respectivement <math>\sin(\alpha)</math>, <math>\cos(\alpha)</math>, <math>\tan(\alpha)</math> et <math>\cot(\alpha)</math> (ou <math>\sin{\alpha}</math>, <math>\cos{\alpha}</math>, <math>\tan{\alpha}</math> et <math>\cot{\alpha}</math>). Ce sont des fonctions circulaires d'angles orientés. Les plus importantes sont les fonctions <math>\sin</math>, <math>\cos</math> et <math>\tan</math>.}}