« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

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* L'intersection d’une famille finie d'éléments de <math>\mathcal{T}</math> est encore dans <math>\mathcal{T}</math>
 
<math>\mathcal{T}</math> s'appelles’appelle la topologie associée à l'espace topologique <math>(X, \mathcal{T})</math>. La plupart du temps, la topologie est sous-entendue, si bien qu'on commettra l'abus de confondre <math>X</math> et <math>(X,\mathcal{T})</math>.
 
Les éléments de <math>\mathcal{T}</math> sont appelés les '''ouverts'''.
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}}
 
Autre exemple : l'ensemble <math>\mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> des fonctions continues d'un intervalle compact <math>I</math> à valeurs dans <math>\mathbb R</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie sur cette espace en décrétant que <math>O \subset \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> est ouvert si pour toute fonction <math>f \in O</math>, il existe <math>\epsilon>0</math> tel que toute fonction <math>g \in \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> vérifiant <math>|f(x)-g(x)|<\epsilon</math> pour tout <math>x \in I</math>, est dans <math>O</math>. Cette topologie s'appelles’appelle encore '''topologie de la convergence uniforme'''.
 
Il est utile de noter la similitude entre toutes ces définitions de topologies : elles sont tout à fait généralisables.