« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

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De la même manière qu'en [[Département:Algèbre|algèbre]] générale, les notions de [[Groupe (mathématiques)|groupes]], d'[[Anneau (mathématiques)|anneaux]] et de [[Corps (mathématiques)|corps]] généralisent ce que nous savons de l'addition des réels à des structures plus abstraites, voire exotiques, la structure d'espace topologique permet de généraliser celle d'espace euclidien à des objets mathématiques de nature totalement différente (espace de nombres, espaces fonctionnels…) L'intuition géométrique joue un grand rôle en topologie, bien qu’il faille toujours se méfier des dessins (dont la pertinence est limitée quand il s'agit de représenter des espaces de dimension infinie).
 
On définit donc la structure de base de la topologie : l'espace topologique, défini comme la donnée d'und’un ensemble <math>X</math>, et d’une topologie sur <math>X</math>, c'est-à-dire un ensemble de sous-ensembles de <math>X</math> vérifiant certaines propriétés, dont les éléments sont appelés ouverts. Intuitivement, un ouvert correspond à un ensemble qui ne contient pas sa « frontière ».
 
== Définition fondamentales ==
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| titre = Définition : Fermés
| contenu =
Pour un espace topologique <math>(X, \mathcal{T})</math> donné, on appelle '''fermé''' de <math>X</math> toute partie qui est le complémentaire dans <math>X</math> d'und’un ouvert, c'est-à-dire d'und’un élément de <math>\mathcal{T}</math>.<br />​
 
Ils vérifient donc les propriétés suivantes :
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}}
 
Autre exemple : l'ensemble <math>\mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> des fonctions continues d'und’un intervalle compact <math>I</math> à valeurs dans <math>\mathbb R</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie sur cette espace en décrétant que <math>O \subset \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> est ouvert si pour toute fonction <math>f \in O</math>, il existe <math>\epsilon>0</math> tel que toute fonction <math>g \in \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> vérifiant <math>|f(x)-g(x)|<\epsilon</math> pour tout <math>x \in I</math>, est dans <math>O</math>. Cette topologie s’appelle encore '''topologie de la convergence uniforme'''.
 
Il est utile de noter la similitude entre toutes ces définitions de topologies : elles sont tout à fait généralisables.