« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions

Un espace topologique est un couple <math>(X, \mathcal{T})</math>, où <math>\mathcal{T}</math> est une partie de l'ensemblel’ensemble <math>\mathcal{P}(X)</math> des parties de <math>X</math>, vérifiant les trois propriétés :

Soit <math>(X, \mathcal{T})</math> un espace topologique, et soit <math>x</math> un élément de cet ensemble. On appelle '''voisinage''' de <math>x</math> toute partie contenant un ouvert, qui contient lui-même <math>x</math>. On peut aussi parler de voisinage d’une partie (non vide) de <math>X</math> (<math>x</math> est alors une partie non vide de <math>X</math> dans la définition précédente). On notera <math>\mathcal{V}(x)</math> l'ensemblel’ensemble des voisinages de <math>x</math>.

L'exemple suivant le plus intéressant est celui de l'ensemblel’ensemble <math>\mathbb R</math> des nombres réels. En effet, dans la construction des ensembles classiques de nombres, <math>\mathbb R</math> est le premier ensemble à être défini en utilisant des notions de topologie, en « complétant » <math>\mathbb Q</math>.

Premier exemple : l'ensemblel’ensemble des suites réelles <math>\mathbb R^n</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie en décrétant que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si, pour toute suite <math>(x_n) \in O</math>, il existe <math>\epsilon>0</math> tel que toute suite <math>(y_n)</math> vérifiant <math>\forall n \in \N, |x_n - y_n| < \epsilon</math> est dans <math>O</math>. Cette topologie se nomme '''topologie de la convergence uniforme'''.

Autre exemple : l'ensemblel’ensemble <math>\mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> des fonctions continues d’un intervalle compact <math>I</math> à valeurs dans <math>\mathbb R</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie sur cette espace en décrétant que <math>O \subset \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> est ouvert si pour toute fonction <math>f \in O</math>, il existe <math>\epsilon>0</math> tel que toute fonction <math>g \in \mathcal C^0(I, \mathbb R)</math> vérifiant <math>|f(x)-g(x)|<\epsilon</math> pour tout <math>x \in I</math>, est dans <math>O</math>. Cette topologie s’appelle encore '''topologie de la convergence uniforme'''.