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m Robot : Remplacement de texte automatisé (- l'on + l’on ) |
m Robot : Remplacement de texte automatisé (- l'opposition + l’opposition , - d'asile + d’asile , - s'adresser + s’adresser , - l'ensemble + l’ensemble , - d'argent + d’argent , - l'argent + l’argent , - l'augmentation + l’augmentat... |
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Ligne 2 :
=== DM3, Exo 1 ===
# Montrer que, <math>(\forall (a,b)/ab<1) : \arctan{a} + \arctan{b} = \arctan{\left ( \frac{a+b}{1-ab}\right )}</math>
# Que dire si <math>ab\ge 1</math> ?
Pour cela, on pourra, mais il y a d'autres méthodes, s'intéresser, pour <math>a \in \mathbb{R}</math> fixé, à la fonction :
:<math>x\mapsto \arctan{\left (\frac{a+x}{1-ax}\right )} - \arctan{x}</math>
Ligne 54 :
Et 4 points <math>A, B, C, D</math> deux à deux distincts de <math>(\Gamma)</math>.
# On suppose que <math>A, B, C, D</math> sont situés sur un même cercle <math>(C)</math> d'équation
#:: <math>g(x,y)=x^2+y^2+2\alpha x+2\beta y+\gamma =0</math>
#: Pour tout réel <math>\lambda</math>, on note <math>(E_{\lambda})</math> la conique d'équation <math>f(x,y)-\lambda g(x,y) =0</math>.
## Montrer que les directions des axes de symétrie de <math>(E_{\lambda})</math> ne dépendent pas de <math>\lambda</math>.
## Montrer qu’il existe une valeur de <math>\lambda</math> telle que <math>(E_{\lambda})</math> est décomposée en droites.
Ligne 74 :
Alors (A inter X = 0) et (B inter X) = 0, donc X appartient au complémentaire de (A union B) dans E.
Analyse : si A union B = E, ce complémentaire est
Synthèse : si la fonction est injective, f(X) = (0,0) implique X = 0, donc implique Complémentaire(A union B) = 0, donc A union B = E.
Ligne 96 :
:<math>f(p,q)=q+\frac{(p+q)(p+q+1)}{2}</math>
# Mq la relation binaire <math>\mathcal{R}</math> dans <math>\mathbb{N}\times \mathbb{N}</math> définie par :
#: <math>(p,q)\mathcal{R}(p',q')\Leftrightarrow \begin{cases}p+q<p'+q' \\ \mbox{ou }(p+q=p'+q'\mbox{ et }q\le q')\end{cases}</math>
#: est une relation d'ordre total.
# Mq si <math>(p,q)\mathcal{R} (p',q')\mbox{ et }(p,q)\neq (p',q')</math> alors <math>f(p,q)<f(p',q')</math>
# Pour <math>p\in \mathbb{N}^*</math> et <math>q\in \mathbb{N}</math>, calculer <math>f(p-1,q+1)-f(p,q)</math> et <math>f(q+1,0)-f(0,q)</math>
Ligne 122 :
Si (1), alors développons les produits de droite :
* (p+q)(p+q+1) - (p'+q')(p'+q'+1) = p² + 2pq + q² + p + q - (p'² + 2p'q' + q'² + p' + q')
* = (p + q - (p' + q')) + (p² + 2pq + q²) - (p'² + 2p'q'+ q'²)
* = (p + q - (p' + q')) + (p+q)² - (p' + q')²
Ligne 152 :
== Maths, → 11/11/07 ==
=== DM8, Exercice 1 : Dénombrement des surjections ===
On note <math>E</math> un ensemble fini et <math>A_1, A_2, ..., A_n</math> <math>n</math> parties de <math>E</math>.
Ligne 159 :
## Faire de même pour <math>Card(A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4)</math>.
## Pour tout entier <math>k</math> tq <math>1\le k\le n</math>, on note : <math>a_k = \sum_{1\le i_1<i_2<...<i_k\le n} Card(A_{i_1}\cap A_{i_2} \cap ...\cap A_{i_k})</math> où la somme porte sur tous les ''k''-uplets <math>(i_1,i_2,...,i_k)</math> d'entiers tq : <math>1\le i_1<i_2<...<i_k\le n</math>. Mq <math>Card \bigcup_{i=1}^n A_i = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k</math>.
# On note <math>E</math> et <math>F</math> deux ensembles finis de cardinaux respectifs ''n'' et ''p'' avec <math>1\le n\le p</math>, <math>\mathcal{S}(F,E)</math>
## Déterminer <math>\mathcal{S}_1^p</math>, <math>\mathcal{S}_2^p</math> et <math>\mathcal{S}_p^p</math>.
## Mq <math>\binom{n}{1} \mathcal{S}_1^p + \binom{n}{2} \mathcal{S}_2^p + \binom{n}{3} \mathcal{S}_3^p + ... + \binom{n}{n} \mathcal{S}_n^p = n^p</math>. On pourra pour cela classer les applications ''f'' de <math>F</math> vers <math>E</math> suivant le cardinal de <math>f(F)</math>.
Ligne 169 :
## Donner le nombre de ''n''-uplets <math>(A_1, A_2,...A_n)</math> de parties de <math>F</math> réalisant une ''partition'' de <math>F</math> en ''n'' parties i-e tq : aucun <math>A_i</math> n'est vide, la réunion des <math>A_i</math> est <math>F</math>, et les <math>A_i</math> sont deux à deux disjoints.
=== Alors... quelques suggestions ===
1. Faire un dessin, identifier les intersections, utiliser la formule de Grassmann.
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