« Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann » : différence entre les versions

'''Notation :''' on notera <math>\mathcal E([a;b])</math> l'ensemblel’ensemble des fonctions en escalier sur <math>[a;b]</math> .<br />

'''Notation :''' on notera <math>\mathcal {CM}([a;b])</math> l'ensemblel’ensemble des fonctions continues par morceaux sur <math>[a;b]</math> .<br />

<u>Remarque :</u> En fait, l'ensemblel’ensemble des fonctions Riemann-intégrables est plus vaste que l'ensemblel’ensemble des fonctions continues par morceaux et on ne peut le décrire précisément.<br /> Par exemple, la fonction <math>f : x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \in \R-\mathbb Q \\ \frac{1}{q}, & \text{si } x = \frac{p}{q} \mathrm {\;avec\;}p\mathrm{\;et\;}q \mathrm{\;premiers \;entre \;eux} \end{cases}</math> est Riemann-intégrable sur <math>\R</math> , alors que la fonction <math>g : x \mapsto \begin{cases} 0, & \text{si } x \in \R-\mathbb Q \\ 1, & \text{si } x \in \mathbb Q \end{cases}</math> n'est pas Riemann-intégrable.