« Polynôme/Arithmétique des polynômes » : différence entre les versions
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||
Ligne 53 :
}}
'''Exemple''' :
* ''Étape 1'' : division de <math>X^4-X^3+X^2</math> par <math>X^2+3X+1</math> (quotient <math>X^2</math> , reste <math>-4X^3</math> )
:{| border="0" cellspacing="0"
Ligne 59 :
| x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1
|- style="text-align:right"
|x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}||
|- style="text-align:right"
| style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | ||
|}
* ''Étape 2'' : division de -4x{{exp|3}}
:{| border="0" cellspacing="0"
|- style="text-align:right"
| x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1
|- style="text-align:right"
|x{{exp|4}} ||-3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}||
|- style="text-align:right"
| style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | ||- x
|- style="text-align:right"
| ||-4x{{exp|3}}|| - 12x{{exp|2}}||-4x
|- style="text-align:right"
|
|}
* ''Étape 3'' : division de 12x{{exp|2}} - 3x + 8 par
:{| border="0" cellspacing="0"
|- style="text-align:right"
| x{{exp|4}} ||- x {{exp|3}} ||+ x{{exp|2}} || - x || + 8|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" | x{{exp|2}} + 3x + 1
|- style="text-align:right"
|x{{exp|4}} ||+ 3x{{exp|3}}|| + x{{exp|2}}||
|- style="text-align:right"
| style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 4x{{exp|3}}|| style="border-top:thin solid black" | ||- x
|- style="text-align:right"
| ||-4x{{exp|3}}|| - 12x{{exp|2}}||-4x
|- style="text-align:right"
|
|- style="text-align:right"
| || || 12x{{exp|2}}||+ 36x
|- style="text-align:right"
| || || style="border-top:thin solid black" | || style="border-top:thin solid black" |- 33x || style="border-top:thin solid black" |- 4|| style="text-align:left;border-left:thin solid black" |
Ligne 143 :
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Il faut montrer que
<math>(\subset)</math> : Soit <math>C\in\mathcal D(A;B)</math>.
Ligne 235 :
Notons <math> n=min \{ deg(P) | P \in I, P \neq 0 \} </math>
(ce minimum existe car
Enfin, notons <math> I_{min} </math> un polynôme unitaire appartenant à <math>I</math> tel que <math> deg(I) = n </math>.
On a de manière évidente, par définition d'un idéal et comme <math> I_{min} \in I </math>, <math> (I_{min}) \subset I</math>.
Réciproquement, soit <math> Q \in I </math>, l’existence de la division euclidienne de <math>Q </math> par <math> I_{min} </math>, entraîne celle d'un polynôme <math>R= Q- I_{min}X, X \in \mathbb K[X]\ </math> avec <math>deg(R) < n </math>.
Ce polynôme vérifie <math>R \in I</math>, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par définition de n, la condition <math> deg(R) < n </math> implique <math>R=0 </math> et <math> deg(R) = -\infty </math>.
Ainsi:
| |||