« Topologie générale/Suites » : différence entre les versions
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m Robot : Remplacement de texte automatisé (- l'opposition + l’opposition , - d'asile + d’asile , - s'adresser + s’adresser , - l'ensemble + l’ensemble , - d'argent + d’argent , - l'argent + l’argent , - l'augmentation + l’augmentat... |
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Ligne 11 :
== Définition ==
Soit <math>E</math> un ensemble (non vide). Une '''suite''' dans E est une application <math>u : \mathbb N \to E</math>, c'est-à-dire une famille d'éléments de E indexée par <math>\mathbb N</math>. On la note souvent <math>(u_n)_{n\in \mathbb N}</math> ou même, s'il n'y a pas d'ambiguïté quant aux indices, simplement <math>(u_n)</math>.
On note parfois <math>E^{\mathbb N}</math>
== Limite et adhérence ==
Ligne 64 :
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# En effet, pour tout voisinage <math>U</math>de <math>l</math>, il existe un indice à partir duquel tous les termes de la suite sont éléments de <math>U</math>,<br /> ce qui prouve que <math>l</math> est valeur d'adhérence.
# En effet, si <math>a</math> est valeur d'adhérence d'une suite extraite <math>(u'_{n})</math>, tout voisinage de <math>a</math> contient une infinité de termes de <math>(u'_{n})</math> et donc de <math>(u_{n})</math>, ce qui prouve que <math>a</math> est valeur d'adhérence de <math>(u_{n})</math>
# Soit <math>a</math> une valeur d'adhérence de <math>(u_{n})</math>, et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, la définition nous assure bien que <math>\forall n\in\mathbb{N} , X_n \cap U \neq \empty</math><br />Donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, a\in \overline{X_n}</math> et <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math><br />Réciproquement soit <math>a\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} \overline{X_n}</math> et <math>U\in \mathcal{V}(a)</math>, donc <math>\forall n \in \mathbb{N}, X_n\cap U \neq \empty</math> et <math>a</math> est bien valeur d'adhérence.
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