« Géométrie différentielle/Formes différentielles » : différence entre les versions

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ce_{(v, w)} &\sim e_{(cv, w)} \sim e_{(v, cw)}
\end{align}</math>
On appelle produit tensoriel de V et de W l'ensemblel’ensemble des classes d'équivalence de F. On le note <math>V\otimes W</math>}}
 
{{Propriété|contenu=<math>V\otimes W</math> est un espace vectoriel de dimension dim(V)*dim(W). Si <math>(v_i)_{i\in [|1,n|]}</math> et <math>(w_i)_{i\in [|1,k|]}</math> forment des bases de <math>V</math> et <math>W</math>, alors <math>(e_{(v_i,w_j)})_{(i,j)\in [|1,n|]\times [|1,k|]}</math> est une base de <math>V\otimes W</math>}}
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{{Définition|titre=produit tensoriel n-fois}}
 
{{Définition|titre=Définition: produit exterieur|contenu=Soit <math>E</math> un espace vectoriel. On définit une relation d'équivalence sur <math>E \otimes E</math>: <math>e_{(u,v)} \sim -e_{(v,u)}</math> et on appelle l'ensemblel’ensemble des classes d'équivalences <math>E\wedge E</math>}}
 
{{Définition|titre=Définition: puissance exterieur}}
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{{Propriété|titre=Propriété:|contenu=Le produit exterieur d'un fibré est encore un fibré.}}
 
== forme différentielle ==
{{Définition|titre=Définition: forme différentiel de degré p|contenu=Soit <math>M</math> une variété de degré n. L'ensemble des formes différentiels de degré p est <math>\Lambda^p(T^*M)</math>.
Soit <math>\sigma \in \Lambda^p(T^*M)</math>, on a alors pour <math>x \in M, \sigma(x) \in \Lambda^p(T^{*}_{x}M)</math>. De plus on identifie <math>\Lambda^p T^{*}_{x}M</math> à <math>(\Lambda^p T_x M)^*</math>}}
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{{Théorème|titre=Existence et unicité de la dérivée exterieur|contenu=Soit <math>M</math> une variété de dimension n. Alors il existe une unique dérivée exterieur.}}
 
== Intégration ==
 
{{Définition|titre=Définition: forme de volume|contenu=On appelle forme de volume une forme différentielle <math>\sigma</math> de degré n tel que <math>\forall x \in M, \sigma(x) \ne 0</math>}}