« Utilisateur:TrantorFr/Concours communs polytechniques 2009 - MP Physique II - Correction » : différence entre les versions

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Le champ magnétique créé par une spire parcourue par un courant <math>i</math>, en un point <math>M</math> de son axe de symétrie, depuis lequel la spire est vue sous un angle <math>\alpha</math> est donné par :

: <math>\mathbf{B} = \frac{\mu_0i}{2r}\sin^3(\alpha)\mathbf{e}_z</math>

Une section de hauteur <math>dz</math> du solénoïde <math>\sigma_1</math>, vue depuis <math>M</math> sous un angle <math>\alpha</math>, crée en <math>M</math> un champ magnétique :

: <math>d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{2r_1}\frac{N_1i}{L}dz\sin^3(\alpha)\mathbf{e}_z</math>

donc

: <math>dz = -r_1\left(1+\frac{1}{\tan^2\alpha}\right)d\alpha = -\frac{r_1}{\sin^2\alpha}d\alpha</math>

: <math>d\mathbf{B} = -\frac{\mu_0}{2}\frac{N_1i}{L}\sin\alpha d\alpha</math>

Le solénoïde étant supposé très long (infini), on obtient le champ magnétique en un point de l'axe par intégration :

La distribution de courant étant anti-symétrique par rapport à tout plan contenant l'axe <math>(Oz)</math>, le champ magnétique est dirigé selon <math>\mathbf{e}_z</math> en tout point de l'espace, donc <math>\mathbf{B}_1</math> est de la forme :

: <math>\mathbf{B}_1 = B_1(r)\mathbf{e}_z</math>

On applique le théorème d'Ampère au contour <math>\mathcal{C}</math> représenté ci-contre :

: <math>\int_{\mathcal{C}} \mathbf{B}_1\cdot d\mathbf{l} = \mu_0i_{\rm int}</math>

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En notant <math>\phi_2</math> le flux total traversant le solénoïde <math>\Sigma_2</math>, on a d'après la loi de Faraday <math>e_2 = -\frac{d\phi_2}{dt}</math> et d'après la loi d'Ohm <math>e_2 = R_2i_2</math>. Donc

: <math>\frac{d\phi_2}{dt} + R_2i_2 = 0</math>