« Topologie générale/Espace topologique » : différence entre les versions
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Ligne 40 :
* La réunion d’une famille finie de fermés est fermée
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Il est important de noter qu'une partie de <math>X</math> qui
* Dans toute topologie, <math>X</math> et <math>\emptyset</math> sont tous deux des ouverts, et le complémentaire l'un de l'autre ; ils sont donc également fermés.
* Dans la topologie discrète (voir ci-dessous), le lecteur déduira aisément que toute partie de <math>X</math>, donc tout ouvert, est fermé.
Ligne 81 :
De même, <math>\mathbb R^n</math> est un espace topologique, et l’on dit que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si pour tout <math>x \in O</math>, il existe <math>\epsilon>0</math> tel que <math>]x_1-\epsilon, x_1+\epsilon[ \times \cdots \times ]x_n-\epsilon, x_n+\epsilon[ \subset O</math>.
Ce
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Ligne 91 :
L’analyse fonctionnelle, quant à elle, a pour cadre les espaces fonctionnels, qui sont des espaces vectoriels de dimension infinie, munis d’une topologie. Ils sont de dimension infinie car ce sont généralement des ensembles de fonctions.
Premier exemple : l’ensemble des suites réelles <math>\mathbb R^n</math> est un espace vectoriel. On peut définir une topologie en décrétant que <math>O \subset \mathbb R^n</math> est ouvert si, pour toute suite <math>(x_n) \in O</math>, il existe <math>\epsilon>0</math> tel que toute suite <math>(y_n)</math> vérifiant <math>\forall n \in \N, |x_n - y_n| < \epsilon</math> est dans <math>O</math>. Cette topologie se nomme '''topologie de la convergence uniforme'''.
Ce
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