« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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C'est essentiellement le seul espace symplectique de dimension 2n, du moins à isomorphisme linéaire près. Ce point est démontré dans la section suivante. Cependant, l'isomorphisme n'estn’est pas unique. En pratique, la manière dont se présente un espace symplectique joue un rôle important. D'autres exemples d'espaces symplectiques souvent utilisés seront donnés après la classification.
 
=== Classification ===
 
''Justification :'' Cette forme est clairement bilinéaire et antisymétrique. Pour la non dégénérescence, prenons un vecteur non nul <math>v_1</math>. Deux possibilités apparaissent :
* Soit l'impulsion ''p''₁ est non nul : on prend ''p''₂=0 et <math>q_2</math> un vecteur de ''E'' qui n'estn’est pas dans le noyau de ''p''₁. Dans ce cas, <math>\omega_E(v_1,v_2)\neq 0</math>.
* Soit l'impulsion ''p''₁ est nulle, auquel cas ''q''₁ est nécessairement non nul. Comme <math>E^*</math> sépare les points de ''E'', il existe une forme linéaire <math>p_2</math> sur ''E'' vérifiant <math>p_2(q_1)=-1</math>. En prenant <math>q_2=0</math>, on trouve <math>\omega_E(v_1,v_2)=1\neq 0</math>.
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L’'''orthogonal''' d'un sous-espace ''W'' d'un espace vectoriel symplectique <math>(V,\omega)</math> est défini par :
<center><math>W^{o}=\{v\in V, \forall w\in W, \omega(v,w)=0\}</math>.</center>
L'orthogonal n'estn’est pas nécessairement un sous-espace supplémentaire. Par exemple, l'orthogonal d'une droite vectorielle la contient.
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