« Intégration de Riemann/Intégrale et primitives » : différence entre les versions
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'''Contre-exemple :''' Soient les fonctions <math>f : x \mapsto x+1</math> et <math>g : x \mapsto e^x</math> .
On montre facilement que <math>F:x\mapsto \frac{x^2}{2}+x</math> et <math>G:x\mapsto e^x</math> sont des primitives respectivement de <math>f</math> et <math>g</math> , mais pourtant :<br />
1/ <math>FG : x \mapsto (\frac{x^2}{2}+x)e^x</math>
2/ <math>\varphi :x \mapsto xe^x</math> est une primitive de <math>fg</math> car :<br />
<math>\varphi'(x) = xe^x+1\times e^x = (x+1)e^x = fg(x) \,\forall x\in \R</math> .
Ligne 136 :
<u>Remarques :</u>
* Dans la première partie du Théorème, la variable <math>x</math> est la "borne d’en haut" de l'intégrale : c’est pour cela qu'on parle parfois de "l'intégrale fonction de la borne d’en haut".
* Dans la deuxième partie du Théorème, la primitive <math>F</math> choisie est quelconque et ce
* C'est ce Théorème qui permet de montrer que toute fonction continue admet des primitives.
{{Démonstration déroulante|contenu =
* Il est clair que <math>F</math> s'annule en <math>a</math> : <math>F(a) = \int_a^a f(t)\mathrm{d}t = 0</math> .<br />Il faut montrer maintenant que <math>F</math> est bien une primitive de <math>f</math> , c'est-à-dire que <math>F'=f</math> ou encore (par [[Fonctions d'une variable réelle/Dérivabilité|définition de la dérivée]]) que<br /><math>\forall x_0 \in \R\quad\lim_{x\to x_0} \frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0} = f(x_0).</math><br />La relation de Chasles donne :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}= \frac{1}{x-x_0}\left(\int_a^x f(t)\mathrm{d}t - \int_a^{x_0} f(t)\mathrm{d}t\right)=\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t</math><br />donc :<br /><math>\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)=\frac{1}{x-x_0}\left(\int_{x_0}^{x} f(t)\mathrm{d}t-(x-x_0)f(x_0)\right)=\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x\left(f(t)-f(x_0)\right)\mathrm{d}t.</math><br />Soit <math>\varepsilon>0</math>. Par continuité de <math>f</math> au point <math>x_0</math>, il existe <math>\eta>0</math> tel que<br /><math>\forall t\in[x_0-\eta,x_0+\eta]\quad|f(t)-f(x_0)|\le\varepsilon</math><br />donc tel que<br /><math>\forall x\in[x_0-\eta,x_0+\eta]\quad\left|\frac{F(x)-F(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)\right|\le\frac{1}{x-x_0}\int_{x_0}^x\left|f(t)-f(x_0)\right|\mathrm{d}t\le\varepsilon</math> : c’est précisément ce qu’il fallait démontrer.
* Soit <math>G</math> la primitive qui était désignée par <math>F</math> dans la première partie du Théorème.<br />Alors <math>\int_a^b f(x)\mathrm{d}x = G(b) = G(b) - G(a)</math> puisque <math>G(a) = 0</math> .<br />Toute autre primitive <math>F</math> de <math>f</math> diffère de <math>G</math> par une constante <math>k\in \R</math> , donc <math>F(x) = G(x) + k \,\forall x \in [a;b]</math>
'''Exemples :'''
# <math>\int_0^1 x^2\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3} = \frac13.</math>
# <math>\int_2^5 x^2 \mathrm dx=\left[\frac{x^3}3\right]_2^5=\frac{125}3-\frac83=\frac{117}3=39.</math>
# <math>\int_0^1 e^{2x} \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{2}e^{2x}\right] = \frac{e^2-1}2.</math>
<u>'''Notion d'intégrale indéfinie (sans bornes) :'''</u>
Soit <math>f</math> une fonction définie sur un intervalle <math>I</math> admettant des primitives.
On note <math>\int f(x)\mathrm dx</math>,
Donc, si <math>F</math> est une primitive de <math>f</math> sur <math>I</math> : <math>\int f(x)\mathrm dx = \{x\mapsto F(x)+k | k\in \R\}.</math>
Ligne 221 :
<center>{{Encadre|contenu=<math>\int e^x \sin x \mathrm{d}x = \frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2} + C \;(C\in \R)</math>}}</center>}}
3/
On ne connaît pas ''a priori'' de primitive de <math>x \mapsto \ln x</math> (et c’est bien ce qu'on cherche).
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