« Combinatoire/Introduction » : différence entre les versions
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m Robot : Remplacement de texte automatisé (- l'application + l’application , - d'une part + d’une part ) |
m Robot : Remplacement de texte automatisé (- n'est pas + n’est pas , - Aujourd'hui + Aujourd’hui , - d'euros + d’euros , - d'agir + d’agir , - l'apparence + l’apparence ) |
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...
(Ce
...
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Là encore, il y a plusieurs manières de procéder :
* Est-ce que les objets sont '''discernables''' ? En d'autres mots, est-ce que ce sont tous les mêmes – et dans ce cas, seul le nombre d'objets qu'on met dans chaque boîte à de l'importance – où est-ce qu’ils sont tous différents ? <br />Par exemple, si on considère les objets comme '''indiscernables''', les dispositions<br />''Boîte A contient {1, 2, 3} et Boîte B contient {4}'' <br />ou bien <br />''Boîte A contient {2, 3, 4} et Boîte B contient {1}''<br />sont considérées comme identiques et ne sont comptées qu'une fois. Ce
* Est-ce que les boîtes sont discernables ? La distinction est la même que dans le cas des objets. Par exemple, les dispositions <br />''Boîte A contient {1, 2, 3} et Boîte B contient {4}''<br />ou bien<br />''Boîte B contient {1, 2, 3} et Boîte A contient {4}''<br />sont identiques si les boîtes sont considérées comme indiscernables et différentes si elles sont considérées comme discernables.
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=== Ensemble des sous-ensembles ===
Vous aurez peut-être remarqué que la réponse à l'exercice précédent est la même que l'une des réponses pour l'exemple de la loterie. Ce
Ce sont tous les deux des « arrangements avec répétition », un des cas théoriques que l’on étudiera plus tard.
Nous allons apprendre dans la suite de ce cours à distinguer un certain nombre de ces cas théoriques, et à trouver des formules générales qui permettent de les résoudre ; toute la difficulté sera pour vous de relier chaque problème avec sa formule.
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La théorie des ensembles offre le cadre théorique idéal, d’une part pour démontrer formellement les différentes formules, d’autre part pour « abstraire » toutes les situations possibles et les réduire à quelques cas typiques. Vous vous apercevrez que la difficulté du cours est d’avoir suffisamment d'intelligence pour distinguer les différents cas et rattacher le problème qui vous préoccupe au bon. Si vous avez une bonne intuition, vous pourrez vous débrouillez, mais les risques de confusion existent. Le langage de la théorie des ensembles, lui, est sans ambiguïté une fois que l’on a appris à le comprendre.
Rassurez-vous : si vous ne connaissez pas la théorie des ensembles, elle
Voyons un exemple de question de combinatoire qui fait intervenir la théorie des ensembles. Soit un ensemble A contenant 4 éléments. Soit B l’ensemble des sous-ensembles de l’ensemble A. Quel est le cardinal de B (c'est-à-dire combien existe-il de sous-ensembles de A ?)
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