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« Continuité et variations/Exercices/Théorème des valeurs intermédiaires » : différence entre les versions

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'''3.''' Donc d'aprèsd’après le théorème des valeurs intermédiaires il existe (au moins) un réel <math>x \in [-2;3]</math> vérifiant l'équation : <math>f(x)=8</math>. <div align=center>{{Remarque|align=center|contenu=En réalité il y a 3 solutions : <math>x=-1~,~x=\frac{1+\sqrt{13}}2~{\rm et}~x=\frac{1-\sqrt{13}}2</math>}}</div>
}}
 
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| contenu =
'''1.'''
* ƒ est strictement croissante sur [-4 ; -3], à valeurs dans [-1 ; 3] contenant 2. Donc, d'aprèsd’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation <math>f(x)=2</math> admet une solution unique dans [-4 ; -3] ;
* ƒ est strictement décroissante sur [-3 ; 1], donc le même théorème assure que l'équation <math>f(x)=2</math> admet aussi une solution unique sur [-3 ; 1] ;
* ƒ est strictement croissante sur [-1 ; 1], à valeurs dans [-1 ; 19] qui contient 2 donc, d'aprèsd’après le même théorème, l'équation <math>f(x)=2</math> admet une solution unique dans [-1 ; 1].
 
 
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ƒ admet en -3 un maximum égal à 3 sur l'intervalle [-4 ; -1] donc 4 n'a pas d'antécédent dans cet intervalle, l'équation <math>f(x)=4</math> n'admet donc pas de solution sur [-4 ; -1].
 
Sur [-1 ; 1], ƒ est strictement croissante et prend ses valeurs dans [-1 ; 19]. Or, 4 ∈ [-1 ; 19]. Donc, d'aprèsd’après le théorème des valeurs intermédiaires pour les fonctions strictement monotones, l'équation <math>f(x)=4</math> admet une solution unique dans [-1 ; 1].
 
 
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