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« Anneau (mathématiques)/Idéal d’un anneau commutatif » : différence entre les versions

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|contenu=Soit <math>a,b\in A</math>. On a : <math>a|b \Leftrightarrow (b)\subset (a)</math>.}}
 
Si <math>a</math> et <math>b</math> sont deux générateurs d'un idéal principal <math>I</math> non nul, on a d'aprèsd’après la propriété précédente <math>a|b</math> et <math>b|a</math>. Donc il existe <math>c</math> et <math>d</math> tels que <math>b=ac</math> et <math>a = db</math>. Donc <math>bd = acd</math>, donc <math>a = acd</math>. <math>I</math> étant supposé non nul, <math>a</math> est régulier et <math>cd = 1</math>. Donc <math>c</math> (ainsi que <math>d</math>) est inversible. On a donc : <math>\exists u </math> inversible dans <math>A</math> tel que <math>b = au</math>.
 
Réciproquement, si, pour <math>a</math> et <math>b</math> non nuls, <math>\exists u </math> inversible dans <math>A</math> tel que <math>b = au</math>, on a <math>b = au</math> et <math>a = bu^{-1}</math>, donc <math>a|b</math> et <math>b|a</math> et les idéaux engendrés par <math>a</math> et <math>b</math> respectivement sont égaux.
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