« Série et transformée de Fourier en physique/Série de Fourier » : différence entre les versions
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Dans le cas le plus courant en sciences physiques l'étude se porte sur la variation dans le temps <math>t</math> d'une grandeur notée <math>y(t)</math>.
Un phénomène est périodique s'il se reproduit, identique à lui-même, régulièrement dans le temps.
* La période <math>T</math> est la durée, exprimée en seconde, au bout de laquelle le phénomène se reproduit : <math>y(t+T)=y(t)</math>.
* La fréquence <math>f=\frac 1 T</math>, exprimée en hertz, est le nombre de périodes par seconde.
* La pulsation ou fréquence angulaire, exprimée en radian par seconde, est indispensable pour la plupart des représentations mathématiques des phénomènes périodiques et s'exprime <math>\omega = 2\pi f=\frac{2\pi}T</math>.<br />
{{Encart
| cadre = oui
| symbole = [[Fichier:30x-Checkmark.png|30px]]
| couleur = 8A0808
| contenu =
'''Théorème'''
Tout signal périodique de période <math>T</math> peut se décomposer en somme infinie de signaux sinusoïdaux (harmoniques) de fréquences multiples de <math>1/T</math>.}}
La formulation mathématique de ce théorème peut être déclinée sous différentes formes, plus ou moins sophistiquées, selon les besoins des domaines d'application.
== Coefficients réels ==
=== Dans le domaine temporel ===
Si <math>y(t)</math> est une grandeur périodique de période <math>T</math>, et <math>n</math> un entier alors :
:<math>
\begin{align}
y(t)= \frac{A_0}{2} & + A_1 \cdot \cos (\omega \cdot t) + A_2 \cdot \cos (2\cdot \omega \cdot t) + \ldots + A_n \cdot \cos (n \cdot \omega \cdot t) \\
\ & + B_1 \cdot \sin (\omega \cdot t) + B_2 \cdot \sin (2 \cdot \omega \cdot t) + \ldots + B_n \cdot \sin (n \cdot \omega \cdot t) + \ldots
\end{align}
</math>
ou de façon condensée :
{{Encart
| cadre = non
| symbole = [[Fichier:30x-Checkmark.png|30px]]
| couleur = 8A0808
| contenu =
<math>y(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty { \left[ A_n \cdot \cos \left( n \cdot \omega \cdot t \right)
+ B_n \cdot \sin \left( n \cdot \omega \cdot t \right) \right] }</math>,
ou
<math>y(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty {C_n \cdot \cos \left( n \cdot \omega \cdot t + \varphi_n \right)}</math>}}
Les coefficients sont définis par les relations suivantes, quel que soit <math>t_0</math> :
{{Encart
| cadre = non
| symbole = [[Fichier:30x-Checkmark.png|30px]]
| couleur = 8A0808
| contenu =<math>A_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} y(t) \cdot \cos (n \cdot \omega \cdot t ) \cdot \mathrm dt</math>,
<math>C_n = \sqrt { A_n^2 + B_n^2}</math>,
<math> \varphi_n = - \arctan \frac{B_n}{A_n}</math>.}}
{{Démonstration déroulante
| titre = Détails supplémentaires
| dérouler = Voir
| enrouler = Cacher
| visible = non
| contenu =
:<math>C_n \cdot \cos \left( n \cdot \omega \cdot t + \varphi_n \right) = C_n \cdot \left[\cos \left( n \cdot \omega \cdot t \right) \cdot \cos \varphi_n - \sin\left( n \cdot \omega \cdot t \right) \cdot \sin \varphi_n \right] </math>
:<math>\begin{cases} A_n = C_n \cdot \cos \varphi_n \\
B_n = - C_n \cdot \sin \varphi_n
\end{cases}
</math>
:<math>\begin{cases} A_n^2 + B_n^2 = C_n^2 \\
\frac{B_n}{A_n}=\frac{- C_n \cdot \sin \varphi_n}{C_n \cdot \cos \varphi_n}=-\tan\varphi_n
\end{cases}
</math>
}}
{{Encart
| cadre = non
| symbole = [[Fichier:30x-Chat.png|30px]]
| couleur = 2054A9
| contenu ='''Remarques'''
* On peut observer que <math>\frac{A_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} y(t) \cdot \mathrm dt=\left \langle y(t) \right \rangle</math> représente la '''composante continue''' ou valeur moyenne de la grandeur <math>y</math> ;
* La fonction <math>y_n(t) = C_n \cdot \cos (n\cdot \omega\cdot t + \varphi_n)</math> est nommée '''harmonique de rang''' <math>n</math> ;
* L'harmonique de rang 1 est nommé '''fondamental''' ;
* <math>C_n</math> est l'amplitude l'harmonique de rang <math>n</math> ;
* <math>\varphi_n</math> est la phase à l'origine de l’harmonique de rang <math>n</math>.
* Si <math>y(t)</math> est une fonction paire, <math>y(-t)=y(t)</math>, alors <math>\forall n</math>, <math>A_n = 0</math>.
* Si <math>y(t)</math> est une fonction paire, <math>y(-t)=-y(t)</math>, alors <math>\forall n</math>, <math>B_n = 0</math>.
}}
=== Dans le domaine des angles ===
On peut aisément transposer les formules précédentes afin de manipuler directement des angles. En effet, pour un signal sinusoïdal de pulsation <math>\omega</math> et de période <math>T</math>,sachant que
{{Encart
| cadre = non
| symbole = [[Fichier:30x-Checkmark.png|30px]]
| couleur = 8A0808
| contenu =
<math>y(\theta) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty { \left[ A_n \cdot \cos\left( n \cdot \theta \right) + B_n \cdot \sin \left( n \cdot \theta \right) \right] }</math>,
avec, et quel que soit <math>\alpha_0</math>,
<math>A_n = \frac{1}{\pi} \int_{\alpha_0}^{\alpha_0+2 \pi} y(\theta) \cdot \cos (n \cdot \theta ) \cdot \mathrm d\theta</math>,
<math>B_n = \frac{1}{\pi} \int_{\alpha_0}^{\alpha_0+2 \pi} y(\theta) \cdot \sin (n \cdot \theta ) \cdot \mathrm d\theta</math>.
}}
== Coefficients complexes ==
En utilisant les [[w:Formule d'Euler|formules d'Euler]], il est possible de définir des coefficients complexes qui sont, dans de nombreux cas, bien plus faciles à calculer.{{Encart
| cadre = non
| symbole = [[Fichier:30x-Checkmark.png|30px]]
| couleur = 8A0808
| contenu =
<math>y(\theta) = \sum_{n=-\infty}^\infty { D_n\cdot e^{\mathrm jn\theta}}</math>,
avec, et quel que soit <math>\alpha_0</math>,
<math>D_n = \frac{1}{2\pi} \int_{\alpha_0}^{\alpha_0+2 \pi} y(\theta)\cdot \mathrm e ^{-\mathrm j n\theta}\cdot \mathrm d \theta</math>.
}}
{{Démonstration déroulante
| titre = Relation entre coefficients réels et coefficients complexes : démonstration.
| dérouler = Voir
| enrouler = Cacher
| visible = non
| contenu =
Partant de l’expression de <math>y(\theta)</math> périodique de période <math>2\pi</math>,
:<math>y(\theta) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty { \left[ A_n \cdot \cos \left( n \cdot \theta \right)
+ B_n \cdot \sin \left( n \cdot \theta \right) \right] }</math>,
et en exprimant, à l'aide des [[w:Formule d'Euler|formules d'Euler]],
:<math>\cos (n\cdot \theta) = \frac{\mathrm e^{\mathrm jn\theta}+e^{-\mathrm jn\theta}} 2</math>,
:<math>\sin (n\cdot \theta) = \frac{\mathrm e^{\mathrm jn\theta}-e^{-\mathrm jn\theta}} {2\cdot \mathrm j}</math>,
il vient :
:<math>y(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty { \left[ A_n \cdot \frac{\mathrm e^{\mathrm jn\theta}+e^{-\mathrm jn\theta}} 2
+ B_n \cdot \frac{\mathrm e^{\mathrm jn\theta}-e^{-\mathrm jn\theta}} {2\cdot \mathrm j} \right] }</math>,
:<math>y(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty { \frac{A_n-\mathrm j \cdot B_n}{2}\cdot e^{\mathrm jn\theta}} +
\sum_{n=1}^\infty {\frac{A_n+\mathrm j \cdot B_n}{2}\cdot e^{-\mathrm jn\theta}}</math>,
:<math>y(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty { \frac{A_n-\mathrm j \cdot B_n}{2}\cdot e^{\mathrm jn\theta}} +
\sum_{n=-1}^{-\infty} {\frac{A_{-n}+\mathrm j \cdot B_{-n}}{2}\cdot e^{\mathrm jn\theta}}</math>.
Or d'après les définitions des <math>A_n</math> et <math>B_n</math> : <math>A_{-n}=A_n</math> et <math>B_{-n}=-B_n</math>, d'où :
:<math>y(t) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty { \frac{A_n-\mathrm j \cdot B_n}{2}\cdot e^{\mathrm jn\theta}} +
\sum_{n=-1}^{-\infty} {\frac{A_{n}-\mathrm j \cdot B_{n}}{2}\cdot e^{\mathrm jn\theta}}</math>.
En observant que <math>B_{0}=0</math>, on peut poser : <math>D_n = \frac{A_n-\mathrm j \cdot B_n}{2} </math>. <math>y(\theta)</math> peut alors s'exprimer :
:<math>y(\theta) = \sum_{n=-\infty}^\infty { D_n\cdot e^{\mathrm jn\theta}} </math>.
Pour exprimer les coefficients <math>D_n </math>, on remplace les coefficients <math>A_n</math> et <math>B_n</math> par leur expression.
:<math>D_n = \frac{1}{\pi} \int_{\alpha_0}^{\alpha_0+2 \pi} f(\theta)\cdot \frac{\cos(n\cdot \theta)-\mathrm j \cdot \sin(n\cdot \theta)}{2}\cdot \mathrm d \theta</math>
:<math>D_n = \frac{1}{2\pi} \int_{\alpha_0}^{\alpha_0+2 \pi} f(\theta)\cdot \mathrm e ^{-\mathrm j n\theta}\cdot \mathrm d \theta</math>}}
{{Encart
| cadre = non
| symbole = [[Fichier:30x-Chat.png|30px]]
| couleur = 2054A9
| contenu ='''Remarques'''
*Le module de <math>D_n</math> correspond à l'amplitude, et son argument correspond à la phase à l'origine.de l'harmonique de rang <math>n</math> :
::<math>|D_n|=\frac{\sqrt {A_n^2+B_n^2}}{2} = \frac{C_n}{2}</math> ;
::<math>\mathrm{arg} (D_n) =\tan \frac{-B_n}{A_n} = \varphi_n</math>.
* <math>D_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{\alpha_0}^{\alpha_0+2\pi} y(\theta) \cdot \mathrm d\theta=\left \langle y(\theta) \right \rangle</math> représente la '''composante continue''' ou valeur moyenne de la grandeur <math>y</math>.
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