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« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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Sur un espace vectoriel réel ''V'', une ''forme symplectique'' est une forme bilinéaire <math>\omega:V^2\rightarrow \R</math>, supposée :
:* '''antisymétrique''' : pour tous vecteurs ''v'' et ''w'' de ''V'', <math>\omega(v,w)=-\omega(w,v)</math> ;
:* '''non- dégénérée''' : pour tout vecteur ''v'', il existe au moins un vecteur ''w'' tel que <math>\omega(v,w)\neq 0</math>.
}}
 
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}}
 
Appliquons ce résultat d'algèbre linéaire réelle au cas d'une forme symplectique ω. Comme ω est non- dégénérée, le noyau est nul (donc r = 0). Le théorème précédent donne l’existence d'une base <math>\scriptstyle (X_1,\dots,X_k,Y_1,\dots, Y_k)</math> avec 2k la dimension de ''V''. On en déduit que :
 
:''La dimension d'un espace symplectique est paire.''
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