« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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→‎Exemples : gram.
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Si <math>\scriptstyle f:E\rightarrow F</math> est un isomorphisme linéaire, alors sa transposée <math>\scriptstyle f^T:F^*\rightarrow E^*</math> est elle-même inversible. De fait, <math>\scriptstyle (f,{f^T}^{-1})</math> est un isomorphisme linéaire <math>\scriptstyle E\times E^*\rightarrow F\times F^*</math>. Cet isomorphisme est symplectique pour les formes <math>\omega_E</math> et <math>\omega_F</math>.
 
''Justification :'' Cette forme est clairement bilinéaire et antisymétrique. Pour la non -dégénérescence, prenons un vecteur non nul <math>v_1</math>. Deux possibilités apparaissent :
* Soit l'impulsion ''p''₁ est non nul : on prend ''p''₂=0 et <math>q_2</math> un vecteur de ''E'' qui n’est pas dans le noyau de ''p''₁. Dans ce cas, <math>\omega_E(v_1,v_2)\neq 0</math>.
* Soit l'impulsion ''p''₁ est nulle, auquel cas ''q''₁ est nécessairement non nul. Comme <math>E^*</math> sépare les points de ''E'', il existe une forme linéaire <math>p_2</math> sur ''E'' vérifiant <math>p_2(q_1)=-1</math>. En prenant <math>q_2=0</math>, on trouve <math>\omega_E(v_1,v_2)=1\neq 0</math>.
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