« Géométrie symplectique/Géométrie symplectique linéaire » : différence entre les versions

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Si (''H'',''h'') est un espace vectoriel hermitien, ''H'' est naturellement muni d'une forme symplectique :
:<center><math>\omega_h(v,w)=\Im \left(h(v,w)\right) \quad</math> (où <math>\Im</math> désigne la partie imaginaire).</center>
:Toute isométrie <math>(H,h)\rightarrow (H',h')</math> est symplectique pour les formes <math>\omega_h</math> et <math> \omega_{h'}</math>.
 
''Justification :'' Deux points nécessitent vérification :
* Antisymétrie : Si ''v'' et ''w'' sont dans ''H'', alors par sesquilinéarité, <math>h(v,w)=\overline{h(w,v)}</math>. En particulier, en prenant la partie imaginaire, <math>\omega(v,w)=-\omega(w,v)</math>.
* Non-dégénérescence : Pour un vecteur non nul ''v'' de ''H'', on a : <math>\omega(v,-iv)=-\Im \left(h(v,-iv)\right)= -\Im \left(ih(v,v)\right)=-h(v,v)<0</math>.
 
''Remarque :'' La métrique hermitienne ''h'' est ici par convention linéaire à droite et antilinéaire à gauche.
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