« Utilisateur:Ellande/Brouillon2 » : différence entre les versions
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+ \frac{\partial \kappa}{\partial y}~\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}
+ \frac{\partial \kappa}{\partial z}~\frac{\mathrm d z}{\mathrm d t}</math>.
Cet outil est utilisé dès lors que l'on choisi d'utiliser une description eulérienne<ref name=":0">Dans le cas de la description lagrangienne, la position dépend du temps et pas voie de conséquence, les fonctions ne dépendent que du temps.</ref>. Dans ce cas,
: <math>\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r},t)
= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}
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Cette expression est nommée [[w:Concepts_de_base_en_théorie_des_milieux_continus#Théorème_de_transport_de_Reynolds|théorème de transport de Reynolds]].
Démonstration
==== Forme conservative ====
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+ \kappa \ \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{v}
\right) \mathrm dV</math>.}}
</center>En bref :<center>
<math>\frac {\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t} ▼
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm dV ▼
+ \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \kappa(\overrightarrow v \cdot \overrightarrow {\mathrm d S})▼
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left( \frac{\partial \kappa}{\partial t} ▼
+ \overrightarrow \nabla \cdot(\kappa~\overrightarrow v)\right)]\mathrm dV ▼
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left( \frac{\mathrm d \kappa}{\mathrm d t} ▼
+ \kappa(\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow v)\right)\mathrm dV </math>▼
</center>
Ligne 344 ⟶ 354 :
== Notions mathématiques utilisées. ==
<math>\kappa(x+\delta x, t+\delta t) ▼
==== Démonstration<ref>{{Lien web|url=https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/moreau/sites/moreau/files/pdf/conservation_de_la_masse.pdf|titre=Principe de conservation de la masse|langue=|site=grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr|date=|consulté le=}}</ref> ====
<math>\Kappa(t)=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \kappa(\vec r,t)~\mathrm d V</math>
Ligne 430 ⟶ 384 :
</math>
Pour la
</math>
: <math>A
= \lim_{\delta t \to 0}\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{D_2}
\frac{\kappa(x ,t+\delta t)-\kappa(x,t)}{\delta t}~\mathrm d V
Ligne 439 ⟶ 393 :
</math>.
Pour
</math>, l'élément de volume sur le domaine <math>D_1
</math> vaut <math>\mathrm dV = -\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}~\delta t
</math>, tandis que sur le domaine <math>D_3
</math>, <math>\mathrm dV = \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}~\delta t
</math>.
: <math>b= \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} \kappa(\vec r ,t+\delta t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_1} \kappa(\vec r,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
</math>
: <math>b= \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} \kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t▼
▲<math>b= \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} \kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} (\kappa(\vec r ,t+\delta t)-\kappa(\vec r ,t)) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_1} \kappa(\vec r,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
</math>
: <math>b= + \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}▼
▲<math>b= + \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}
\kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} (\kappa(\vec r ,t+\delta t)-\kappa(\vec r ,t)) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
Ligne 463 ⟶ 415 :
</math>
<math>\lim_{\delta t \to 0} \frac{b}{\delta t}▼
= \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}
\kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n
</math>
= \lim_{\delta t \to 0} \int\!\!\!\!\!\int_{S_3}
\frac{\kappa(x ,t+\delta t)-\kappa(x,t)}{\delta t} ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
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On obtient ainsi ː
<center>
<math>\frac {\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm dV
+ \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \kappa(\overrightarrow v \cdot \overrightarrow {\mathrm d S}) </math>
</center>
--
▲<math>\frac {\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
▲= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm dV
▲+ \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \kappa(\overrightarrow v \cdot \overrightarrow {\mathrm d S})
▲= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left( \frac{\partial \kappa}{\partial t}
▲+ \overrightarrow \nabla \cdot(\kappa~\overrightarrow v)\right)]\mathrm dV
▲= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left( \frac{\mathrm d \kappa}{\mathrm d t}
▲+ \kappa(\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow v)\right)\mathrm dV </math>
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