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+ \frac{\partial \kappa}{\partial y}~\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}
+ \frac{\partial \kappa}{\partial z}~\frac{\mathrm d z}{\mathrm d t}</math>.
Cet outil est utilisé dès lors que l'on choisi d'utiliser une description eulérienne<ref name=":0">Dans le cas de la description lagrangienne, la position dépend du temps et pas voie de conséquence, les fonctions ne dépendent que du temps.</ref>. Dans ce cas,
: <math>\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r},t)
= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}
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Cette expression est nommée [[w:Concepts_de_base_en_théorie_des_milieux_continus#Théorème_de_transport_de_Reynolds|théorème de transport de Reynolds]].
 
Démonstration
 
==== Forme conservative ====
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+ \kappa \ \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{v}
\right) \mathrm dV</math>.}}
</center>En bref :<center>
<math>\frac {\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm dV
+ \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \kappa(\overrightarrow v \cdot \overrightarrow {\mathrm d S})
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left( \frac{\partial \kappa}{\partial t}
+ \overrightarrow \nabla \cdot(\kappa~\overrightarrow v)\right)]\mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left( \frac{\mathrm d \kappa}{\mathrm d t}
+ \kappa(\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow v)\right)\mathrm dV </math>
</center>
 
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== Notions mathématiques utilisées. ==
 
==== Développement limité d'ordre 1<ref name=":02">{{Lien web|url=http://www.math.univ-toulouse.fr/~fournie/WEB-IUT/tm212.pdf|titre=Fonctions de plusieurs variables|langue=fr|site=math.univ-toulouse.fr|date=|page=23 et 35|consulté le=}}</ref> ====
<math>\kappa(x+\delta x, t+\delta t)
= \kappa(x,t)+\frac{\partial \kappa(x,t)}{\partial x} ~\delta x
+ \frac{\partial \kappa(x,t)}{\partial t} ~\delta t
+ \sqrt{\delta x^2+\delta t^2}~\varepsilon (\delta x, \delta t)</math>
 
avec <math>\varepsilon (\delta x, \delta t)</math> qui tend vers 0 quand <math>\delta x</math> et <math>\delta t</math> tendent vers 0.
 
<math>\frac{\partial \kappa}{\partial t}
= \lim_{\delta t \to 0}\left[ \frac{\kappa(x ,t+\delta t)-\kappa(x,t)}{\delta t}\right]</math>
 
<math>\frac{\partial \kappa}{\partial x}
= \lim_{\delta x \to 0}\left[ \frac{\kappa(x+\delta x ,t)-\kappa(x,t)}{\delta x}\right]</math>
 
==== Différentielle d'une fonction à plusieurs variables<ref name=":02" /> ====
La fonction différentielle est la fonction <math>\mathrm d \kappa (\delta x,\delta t)
=\frac{\partial \kappa(x,t)}{\partial x} ~\delta x
+ \frac{\partial \kappa(x,t)}{\partial t} ~\delta t</math>.
 
C'est une approximation, lorsque <math>\delta x</math> et <math>\delta t</math> tendent vers 0, de l'accroissement ː
 
<math>\Delta \kappa
=\kappa(x+\delta x, t+\delta t) - \kappa(x,t)
\simeq \frac{\partial \kappa(x,t)}{\partial x} ~\delta x
+ \frac{\partial \kappa(x,t)}{\partial t} ~\delta t
= \mathrm d \kappa (\delta x,\delta t)</math>
 
==== Dérivée particulaire ː ====
Par extension à une fonction à 4 variables, la dérivée totale d'une fonction <math>\kappa = \kappa(\vec r, t)</math> peut se détailler de la façon suivante.
: <math>\mathrm d \kappa = \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm d t + \frac{\partial \kappa}{\partial x}~\mathrm d x
+ \frac{\partial \kappa}{\partial y}~\mathrm d y + \frac{\partial \kappa}{\partial z}~\mathrm d z</math>.
La dérivée particulaire est la dérivée "totale" de la fonction par rapport au temps est définie par ː
: <math>\frac{\mathrm d \kappa}{\mathrm d t}
= \frac{\partial \kappa}{\partial t}
+ \frac{\partial \kappa}{\partial x}~\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}
+ \frac{\partial \kappa}{\partial y}~\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}
+ \frac{\partial \kappa}{\partial z}~\frac{\mathrm d z}{\mathrm d t}</math>
Cet outil est utilisé dès lors que l'on choisi d'utiliser une description eulérienne<ref name=":0">Dans le cas de la description lagrangienne, la position dépend du temps et pas voie de conséquence, les fonctions ne dépendent que du temps.</ref>. Dans ce cas,
: <math>\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r},t)
= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} \frac{\mathrm d x}{\mathrm d t} \\ \frac{\mathrm d y}{\mathrm d t} \\ \frac{\mathrm d z}{\mathrm d t} \end{pmatrix}</math>.
La dérivée particulaire s'exprime alors ː
: <math>\frac{\mathrm d \kappa}{\mathrm d t}
=\frac{\partial \kappa}{\partial t}
+v_x\frac{\partial \kappa}{\partial x}
+v_y\frac{\partial \kappa}{\partial y}
+v_z\frac{\partial \kappa}{\partial z}
</math>
Elle s'écrit de façon condensée comme suit.<center><math>\frac{\mathrm d \kappa}{\mathrm d t}
= \frac{\partial \kappa}{\partial t} + (\overrightarrow v \cdot \overrightarrow \nabla) \kappa</math></center><math>\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow\nabla</math> est l'opérateur [[w:Advection|advection]] ː <math>\ (\overrightarrow v \cdot \overrightarrow \nabla) \kappa
= v_x \frac{\partial\kappa}{\partial x}
+ v_y \frac{\partial\kappa}{\partial y}
+ v_z \frac{\partial\kappa}{\partial z}</math>.
 
==== Démonstration<ref>{{Lien web|url=https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/moreau/sites/moreau/files/pdf/conservation_de_la_masse.pdf|titre=Principe de conservation de la masse|langue=|site=grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr|date=|consulté le=}}</ref> ====
Dérivée particulaire d'une intégrale de volume ː
 
<math>\Kappa(t)=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \kappa(\vec r,t)~\mathrm d V</math>
 
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</math>
 
Pour la partielimite <math>(A)
</math>
 
: <math>A
= \lim_{\delta t \to 0}\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{D_2}
\frac{\kappa(x ,t+\delta t)-\kappa(x,t)}{\delta t}~\mathrm d V
Ligne 439 ⟶ 393 :
</math>.
 
Pour la partiel'intégrale <math>(Bb)
</math>, l'élément de volume sur le domaine <math>D_1
</math> vaut <math>\mathrm dV = -\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}~\delta t
</math>, tandis que sur le domaine <math>D_3
</math>, <math>\mathrm dV = \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}~\delta t
</math>.
 
: <math>b= \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} \kappa(\vec r ,t+\delta t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_1} \kappa(\vec r,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
 
</math>
: <math>b= \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} \kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
 
<math>b= \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} \kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} (\kappa(\vec r ,t+\delta t)-\kappa(\vec r ,t)) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_1} \kappa(\vec r,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
 
</math>
: <math>b= + \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}
 
<math>b= + \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}
\kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} (\kappa(\vec r ,t+\delta t)-\kappa(\vec r ,t)) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
Ligne 463 ⟶ 415 :
 
</math>
: <math>\kappa(x+lim_{\delta x, t+ \to 0} \frac{b}{\delta t) }
 
<math>\lim_{\delta t \to 0} \frac{b}{\delta t}
= \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}
\kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n
</math>
: <math>\lim_{\delta t \to 0} \frac{bc}{\delta t}
 
<math>\lim_{\delta t \to 0} \frac{c}{\delta t}
= \lim_{\delta t \to 0} \int\!\!\!\!\!\int_{S_3}
\frac{\kappa(x ,t+\delta t)-\kappa(x,t)}{\delta t} ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
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On obtient ainsi ː
 
<center>
<math>\frac {\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm dV
+ \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \kappa(\overrightarrow v \cdot \overrightarrow {\mathrm d S}) </math>
</center>
 
--
 
<math>\frac {\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm dV
+ \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \kappa(\overrightarrow v \cdot \overrightarrow {\mathrm d S})
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left( \frac{\partial \kappa}{\partial t}
+ \overrightarrow \nabla \cdot(\kappa~\overrightarrow v)\right)]\mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left( \frac{\mathrm d \kappa}{\mathrm d t}
+ \kappa(\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow v)\right)\mathrm dV </math>
 
--