« Utilisateur:Ellande/Brouillon2 » : différence entre les versions
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{{Utilisateur:Alasjourn/Carnet brouillon}}
La notion de dérivée particulaire introduite au <u>'''chapitre''' n</u> peut être étendue à plusieurs autres grandeurs caractéristiques du fluide en mouvement. Le tableau ci-dessous rassemble les résultats détaillés plus bas.
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Cette expression est nommée [[w:Concepts_de_base_en_théorie_des_milieux_continus#Théorème_de_transport_de_Reynolds|théorème de transport de Reynolds]].
{{Démonstration déroulante
| titre = Démonstration<ref>{{Lien web|url=https://grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr/pap-ebook/moreau/sites/moreau/files/pdf/conservation_de_la_masse.pdf|titre=Principe de conservation de la masse|langue=|site=grenoble-sciences.ujf-grenoble.fr|date=|consulté le=}}</ref>
| dérouler = Voir
| enrouler = Cacher
| visible = non
| contenu =
[[Fichier:Théorème de transport de Reynolds.png|vignette|400x400px|Illustration et notations utilisées]]
À l'instant <math>t</math>, le volume de contrôle est noté <math>V</math>. Le mouvement du fluide entraîne ce volume vers le volume <math>V'</math> à l'instant <math>t+\mathrm dt</math>.
<math>\Kappa(t)=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \kappa(\vec r,t)~\mathrm d V</math>
<math>\frac{\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
= \lim_{\delta t \to 0}\left[ \frac{\int_{V'} \kappa(\vec r ,t+\delta t)~\mathrm d V
- \int_{V} \kappa(\vec r,t)~\mathrm d V }{\delta t}\right]
</math>
<math>\frac{\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
= \lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t} \left[
\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{\delta V_3} \kappa(\vec r ,t+\delta t)~\mathrm d V
+ \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V_2} \kappa(\vec r ,t+\delta t)~\mathrm d V
- \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V_2} \kappa(\vec r,t)~\mathrm d V
- \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{\delta V_1} \kappa(\vec r,t)~\mathrm d V \right]
</math>
<math>\frac{\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
= \underbrace{\lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t} \left[
\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V_2} \kappa(\vec r ,t+\delta t)~\mathrm d V
- \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V_2} \kappa(\vec r,t)~\mathrm d V
\right]}_{(A)}
+
\lim_{\delta t \to 0} \frac{1}{\delta t}
\underbrace{ \left[\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{\delta V_3} \kappa(\vec r ,t+\delta t)~\mathrm d V
- \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{\delta V_1} \kappa(\vec r,t)~\mathrm d V \right]}_{(b)}
</math>
Pour la limite <math>(A)</math>
: <math>A= \lim_{\delta t \to 0}\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V_2}
\frac{\kappa(x ,t+\delta t)-\kappa(x,t)}{\delta t}~\mathrm d V
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_{V_2} \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm d V
</math>.
Pour l'intégrale <math>(b)
</math>, l'élément de volume sur le domaine <math>\delta V_1</math> vaut <math>\mathrm dV = -\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}~\delta t
</math>, tandis que sur le domaine <math>\delta V_3</math>, <math>\mathrm dV = \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}S}~\delta t
</math>.
: <math>b= \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} \kappa(\vec r ,t+\delta t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_1} \kappa(\vec r,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
</math>
: <math>b= \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} \kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_3} (\kappa(\vec r ,t+\delta t)-\kappa(\vec r ,t)) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
+ \int\!\!\!\!\!\int_{S_1} \kappa(\vec r,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
</math>
Sachant que <math>S_1 \cup S_3 \rightarrow S</math>, on peut écrire :
: <math>b=\underbrace{ \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}
\kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t }_{(c)}
+ \underbrace{ \int\!\!\!\!\!\int_{S_3}
(\kappa(\vec r ,t+\delta t)-\kappa(\vec r ,t)) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
}_{(d)}
</math>.
Le passage à la limite pour la partie <math>(c)</math> donne :
: <math>\lim_{\delta t \to 0} \frac{b}{\delta t}
= \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_{S}
\kappa(\vec r ,t) ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n
</math>.
Le passage à la limite annule la partie <math>(d)</math> :
: <math>\lim_{\delta t \to 0} \frac{c}{\delta t}
= \lim_{\delta t \to 0} \int\!\!\!\!\!\int_{S_3}
\frac{\kappa(x ,t+\delta t)-\kappa(x,t)}{\delta t} ~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n ~ \delta t
= \lim_{\delta t \to 0} \left(\delta t \int\!\!\!\!\!\int_{S_3}
\frac{\partial \kappa}{\partial t}~ \mathrm d S ~ \vec v \cdot \vec n \right)
= 0
</math>
De plus, <math>V_2\rightarrow V</math>, on obtient ainsi ː
<center>
<math>\frac {\mathrm d \Kappa}{\mathrm d t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \frac{\partial \kappa}{\partial t}~\mathrm dV
+ \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \kappa(\overrightarrow v \cdot \overrightarrow {\mathrm d S}) </math>.
</center>
}}
==== Forme conservative ====
Selon le [[w:Théorème_de_flux-divergence|théorème de flux-divergence]] ː <math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \mathrm{div}\, \left(\kappa ~ \overrightarrow v \right) \mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S \kappa ~ \overrightarrow v \cdot \mathrm d\overrightarrow S</math>.
L'intégrale précédente peut s’exprimer ainsi ː
: <math>\frac {\mathrm {d} \Kappa }{\mathrm {d} t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \frac{\partial \kappa}{\partial t} ~ \mathrm d V
+\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \mathrm{div} \left(\kappa ~ \overrightarrow v \right) \mathrm dV
</math>,
: <math>\frac {\mathrm {d} \Kappa }{\mathrm {d} t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial \kappa}{\partial t}
+ \mathrm{div} \left(\kappa ~ \overrightarrow v \right)\right) \mathrm dV
</math>.
En utilisant l'[[Analyse vectorielle/Vecteur formel « nabla »|opérateur nabla]], on obtient :<center>{{Encadre|contenu =
<math>\frac {\mathrm {d} \Kappa }{\mathrm {d} t}
Ligne 128 ⟶ 220 :
+ \kappa \ \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{v}
\right) \mathrm dV
</math>.
Or l'expression de la dérivée particulaire fournit <math>\frac{\mathrm d \kappa}{\mathrm d t}
= \frac{\partial \kappa}{\partial t} + (\overrightarrow v \cdot \overrightarrow \nabla) \kappa</math>, ce qui permet d'écrire ː
Ligne 136 ⟶ 228 :
+ \kappa \ \overrightarrow{\nabla}\cdot \overrightarrow{v}
\right) \mathrm dV
</math>.
<center>{{Encadre|contenu =
Ligne 352 ⟶ 443 :
\right) \mathrm dV</math>.}}
</center>
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