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Bilan de la quantité de mouvement
 
== Forme intégrale ==
Pour un volume <math>V</math> donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume <math>V</math>. Il peut aussi bien s'agir de forces de contact, surfaciques (pression, viscosité), ou de forces volumiques, à distance (poids, force électromagnétique).
 
<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t} = \overrightarrow{F_S} + \overrightarrow{F_V}
</math>
 
La dérivée particulaire de la quantité de mouvement peut s'exprimer<ref>Voir l'établissement de cette relation dans le chapitre [[Cinématique des fluides/Dérivée particulaire#D.C3.A9riv.C3.A9e particulaire d.27une int.C3.A9grale de volume|Cinétique des fluides]].</ref> :
 
<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t}
=\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\overrightarrow {v}}\,\mathrm {d} V
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \vec{v} \right)
\right) \mathrm dV
</math>.
 
Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :
 
<math>\overrightarrow{F_V} = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V f_V\, \mathrm d V
</math>.
 
Les forces de surface s'expriment :
 
== Forme locale ==
 
<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \vec{v} \right)}{\mathrm d t}
=\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t}
+\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial x}\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}
+\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial y}\frac{\mathrm d y}{\mathrm d t}
+\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial z}\frac{\mathrm d z}{\mathrm d t}
</math>