« Utilisateur:Ellande/Brouillon2 » : différence entre les versions
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Ligne 5 :
Pour un volume <math>V</math> donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume <math>V</math>. Il peut aussi bien s'agir de forces de contact, surfaciques (pression, viscosité), ou de forces volumiques, à distance (poids, force électromagnétique).
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t} = \overrightarrow{F_S} + \overrightarrow{F_V}
</math>
La dérivée particulaire de la quantité de mouvement peut s'exprimer<ref>Voir l'établissement de cette relation dans le chapitre [[Cinématique des fluides/Dérivée particulaire#D.C3.A9riv.C3.A9e particulaire d.27une int.C3.A9grale de volume|Cinétique des fluides]].</ref> :
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t}
=\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\overrightarrow {v}}\,\mathrm {d} V
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \
\right) \mathrm dV
</math>.
Ligne 19 :
Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :
:<math>\overrightarrow{F_V} = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V f_V\, \mathrm d V
</math>.
Les forces de surface qui s'applique sur la surface <math>S</math> fermée frontière du volume <math>\mathrm dV</math> sont un peu plus subtiles à détailler.
:<math>\overrightarrow{F_S} =
\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
\overrightarrow{\mathrm d F_S}
Ligne 33 :
Les forces surfaciques qui s'appliquent sur les faces d'un élément de volume sont modélisées par une matrice<ref>Tenseur d'ordre (ou de rang) 2</ref> nommée tenseur des contraintes.
:<math>\overline\overline\mathrm{\tau} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
Ligne 40 :
</math>
de sorte que<ref>[https://books.google.fr/books?id=PdxOsIkhZCcC&pg=PA24&dq=equation+de+continuit%C3%A9+bilan+masse&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi_2Z_soqPOAhUJ2RoKHZ2dABQQ6AEIMDAD#v=onepage&q=equation%20de%20continuit%C3%A9%20bilan%20masse&f=false ''Mécanique des fluides appliquée''], Pierre-Louis Viollet,
</ref>
:<math>\overrightarrow{\mathrm d F_S} = \overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
=
\begin{pmatrix}
Ligne 61 :
On peut exprimer les forces de surface :
:<math>\overrightarrow{F_S}
=
\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
Ligne 67 :
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V
\overrightarrow \hbox{div}\ \overline\overline\mathrm{\tau} {\mathrm d V}
</math>,
avec
:<math>\overrightarrow \hbox{div}\ \overline\overline\mathrm{\tau} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}\\
\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial z}\\
Ligne 80 ⟶ 78 :
</math>.
:<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \
\right) \mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V f_V\, \mathrm d V
+\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
\overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
</math>
Ligne 92 ⟶ 89 :
En exprimant la forme globale
:<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \
\right) \mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V f_V\, \mathrm d V
Ligne 104 ⟶ 101 :
<center>{{Encadre|contenu =
<math>\frac{\partial (\rho \overrightarrow v)}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \
= f_V+ \overrightarrow \hbox{div}\ \overline\overline\mathrm{\tau}
</math>,}}
Ligne 126 ⟶ 123 :
:<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \overrightarrow{v} \right)}{\mathrm d t}
+\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}
=\rho
Ligne 139 ⟶ 136 :
</math>
:<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \overrightarrow{v} \right)}{\mathrm d t}
+\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}
=\rho
Ligne 154 ⟶ 151 :
</math>
<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \
=\rho\frac{\partial \
+\frac{\partial \rho}{\partial t}\
+\rho \left( \overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow\mathrm{grad}
\right)\
+
\left(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow\mathrm{grad} \, \rho
\right)\
</math>
<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \
=\rho\frac{\partial \
+\frac{\partial \rho}{\partial t}\
+\rho \left(
v_x\frac{\partial
+ v_y\frac{\partial
+ v_z\frac{\partial
\right)
+
Ligne 178 ⟶ 175 :
+\frac{\partial \rho}{\partial y} v_y
+\frac{\partial \rho}{\partial z} v_z
\right)\
</math>
<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \
=\rho\frac{\partial \
+\frac{\partial \rho}{\partial t}\
+\rho \, v_x\frac{\partial \
+\frac{\partial \rho}{\partial x} v_x \
+\rho \, v_y\frac{\partial \
+\frac{\partial \rho}{\partial y} v_y \
+\rho \, v_z\frac{\partial \
+\frac{\partial \rho}{\partial z} v_z \
</math>
<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \
=\rho \left (
\frac{\partial \
+ v_x\frac{\partial \
+ v_y\frac{\partial \
+v_z\frac{\partial \
\right )
+\left (
Ligne 207 ⟶ 204 :
+\frac{\partial \rho}{\partial z} v_z
\right )
\
</math>
<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \
=\rho \left (
\frac{\partial \
+(\
\right )
+ \underbrace{\left (
\frac{\partial \rho}{\partial t}
+ \
}_{=0}
\
</math>
<math>\frac{\mathrm d \left( \rho \
= \rho \frac{\partial \
+\rho(\
</math>
Ligne 236 ⟶ 228 :
+\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}
= f_V+ \overrightarrow \hbox{div}\ \overline\overline\mathrm{\tau}
</math>
<math>\
=\mathrm {div}\,(\rho\
\rho (\
</math>
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