« Utilisateur:Ellande/Brouillon2 » : différence entre les versions
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== Forme globale ==
La forme globale de l'<nowiki/>''équation de bilan de la [[Cinématique des fluides/Définitions|quantité de mouvement]]'' correspond à la forme générale du ''principe fondamental de la dynamique''. Pour un volume <math>V</math> donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume <math>V</math>. <center>{{Encadre|contenu =
<math>\frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}=\sum_V{\overrightarrow{F}}
</math>.}}
</center>Il
* les forces de contact, surfaciques (pression, viscosité), * L'équation peut se décomposer ainsi :
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t} = \overrightarrow{F_S} + \overrightarrow{F_V}
</math>.
La dérivée particulaire de la [[Cinématique des fluides/Définitions|quantité de mouvement]]
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t}
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</math>.
=== Forces volumiques ===
Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :
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</math>.
Dans la grande majorité des cas en mécanique des fluides, la seule force à distance que subit le fluide est son poids. Dans ce cas :
:<math>\overrightarrow{F_V} = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \
</math>.
Cette force est elle-même souvent négligée dans le cas des gaz.
=== Forces surfaciques ===
Les forces de surface qui s'applique sur la surface <math>S</math> fermée frontière du volume <math>\mathrm dV</math> sont un peu plus subtiles à détailler.
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</math>
[https://books.google.fr/books?id=PdxOsIkhZCcC&pg=PA24&dq=equation+de+continuit%C3%A9+bilan+masse&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi_2Z_soqPOAhUJ2RoKHZ2dABQQ6AEIMDAD#v=onepage&q=equation%20de%20continuit%C3%A9%20bilan%20masse&f=false][http://perso.mines-albi.fr/~louisnar/MECADEF/PolyMecaDef.pdf]▼
[[Fichier:Composantes tenseur des contraintes.png|vignette|400x400px|Illustration]]▼
▲Les forces surfaciques qui s'appliquent sur les faces d'un élément de volume sont modélisées par une matrice<ref>Tenseur d'ordre (ou de rang) 2</ref> nommée tenseur des contraintes.
:<math>\overline\overline\mathrm{\tau} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
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On peut exprimer les forces de surface :
:<math>\overrightarrow{F_S}
=
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</math>.
=== Équation bilan ===
▲:<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
Le bilan de la quantité de mouvement peut donc s'écrire :<center>{{Encadre|contenu =
<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \overrightarrow{v} \right)
\right) \mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \overrightarrow{f_V}\, \mathrm d V
+\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
\overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
</math>.}}
</center>
ou encore<center>{{Encadre|contenu =
<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\
+
\right) \mathrm dV▼
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \overrightarrow{f_V}\, \mathrm d V
+\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
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</math>.}}
</center>
<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \overrightarrow{v} \right)
▲\right) \mathrm dV
=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\mathrm d ( \rho \overrightarrow{v} )}{\mathrm d t}
+\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}\right) \mathrm dV
</math>
<center></center>
== Forme locale ==
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\rho (\overrightarrow v\cdot \overrightarrow \mathrm{grad})\, \overrightarrow v
</math>
▲[https://books.google.fr/books?id=PdxOsIkhZCcC&pg=PA24&dq=equation+de+continuit%C3%A9+bilan+masse&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi_2Z_soqPOAhUJ2RoKHZ2dABQQ6AEIMDAD#v=onepage&q=equation%20de%20continuit%C3%A9%20bilan%20masse&f=false][http://perso.mines-albi.fr/~louisnar/MECADEF/PolyMecaDef.pdf]
▲[[Fichier:Composantes tenseur des contraintes.png|vignette|400x400px|Illustration]]
Les forces surfaciques qui s'appliquent sur les faces d'un élément de volume sont modélisées par
:
== Notes ==
<references />
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