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Bilan de la quantité de mouvement - Principe fondamental de la dynamique
La forme globale de l'<nowiki/>''équation de bilan de la [[Cinématique des fluides/Définitions|quantité de mouvement]]'' est un équation équivalente à la forme générale du ''principe fondamental de la dynamique''. Pour un volume <math>V</math> donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume <math>V</math>.
<center>{{Encadre|contenu = <math>\frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}=\sum_V{\overrightarrow{F}}
</math>.}}
</center>
Il existe deux familles de forces : * les forces de contact, surfaciques (pression, viscosité),
* les forces volumiques, à distance (poids, force électromagnétique).
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+\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}\right) \mathrm dV
=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t} \mathrm dV
</math>.
Ici la deuxième expression peut se simplifier : en partant de la dérivée particulaire de la densité volumique de quantité de mouvement
:<math>\frac{\mathrm d ( \rho \overrightarrow{v} )}{\mathrm d t}
=\rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t}
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puis en ajoutant de part et d'autre le terme <math>\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}
</math>, il vient :
:<math>\frac{\mathrm d ( \rho \overrightarrow{v} )}{\mathrm d t}
Ligne 54 ⟶ 60 :
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t}
=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t} \mathrm dV
</math>.
=== Forces volumiques ===
Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :
Ligne 70 ⟶ 77 :
=== Forces surfaciques ===
Les forces de surface qui s'applique sur la surface <math>S</math> fermée frontière du volume <math>\mathrm dV</math> sont un peu plus subtiles à détailler.
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On peut exprimer les forces de surface :
:<math>\overrightarrow{F_S}
=
Ligne 123 ⟶ 132 :
=== Équation bilan ===
Le bilan de la quantité de mouvement peut donc s'écrire :<center>{{Encadre|contenu =
<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
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ou encore plus simplement<center>{{Encadre|contenu =
<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t} \mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \overrightarrow{f_V}\, \mathrm d V
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== Forme locale ==
En exprimant la forme globale
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