Wikiversité

« Utilisateur:Ellande/Brouillon2 » : différence entre les versions

Navigation interactive dans l’historique
← Modification précédenteModification suivante →
Contenu supprimé Contenu ajouté
VisuelWikicode
mAucun résumé des modifications
<-------fin forme globale -------
Ligne 1 :
{{Utilisateur:Alasjourn/Carnet brouillon}}
Bilan de la quantité de mouvement - Principe fondamental de la dynamique
 
La forme globale de l'<nowiki/>''équation de bilan de la [[Cinématique des fluides/Définitions|quantité de mouvement]]'' est un équation équivalente à la forme générale du ''principe fondamental de la dynamique''. Pour un volume <math>V</math> donné, on peut écrire que la dérivée totale de la quantité de mouvement est égale à la somme des forces qui s'exercent sur le fluide contenu dans le volume <math>V</math>.
 
<center>{{Encadre|contenu =
<math>\frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt}=\sum_V{\overrightarrow{F}}
</math>.}}
</center>
 
Il existe deux familles de forces :
* les forces de contact, surfaciques (pression, viscosité),
* les forces volumiques, à distance (poids, force électromagnétique).
L'équation peut se décomposer ainsi :
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t} = \overrightarrow{F_S} + \overrightarrow{F_V}
</math>.
 
== Etablissement de la forme globale ==
 
=== Dérivée particulaire ===
La dérivée particulaire de la [[Cinématique des fluides/Définitions|quantité de mouvement]]
 
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t}
=\frac{\mathrm d }{\mathrm d t}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho {\overrightarrow {v}}\,\mathrm {d} V
</math>
 
peut s'exprimer de plusieurs façons<ref name=":0">Voir l'établissement de cette relation dans le chapitre [[Cinématique des fluides/Dérivée particulaire|''Dérivée particulaire'']] de la leçon ''Cinétique des fluides''.</ref> :
 
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \overrightarrow{v} \right)
\right) \mathrm dV
=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\mathrm d ( \rho \overrightarrow{v} )}{\mathrm d t}
+\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}\right) \mathrm dV
=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t} \mathrm dV
</math>.
 
Ici la deuxième expression peut se simplifier : en partant de la dérivée particulaire de la densité volumique de quantité de mouvement
 
:<math>\frac{\mathrm d ( \rho \overrightarrow{v} )}{\mathrm d t}
=\rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t}
+\frac{\mathrm d \rho}{\mathrm d t}
\overrightarrow{v}
</math>,
 
puis en ajoutant de part et d'autre le terme <math>\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}
 
</math>, il vient :
:<math>\frac{\mathrm d ( \rho \overrightarrow{v} )}{\mathrm d t}
+\rho \, \overrightarrow v\, \hbox{div}\ \overrightarrow{v}
=\rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t}
+
\underbrace{ \left(\frac{\mathrm d \rho}{\mathrm d t}
+\rho \ \hbox{div}\, \overrightarrow v\right) }_{=0}\overrightarrow{v}
</math>.
 
où l'on reconnaît la forme non-conservative de l'équation de continuité.
 
La dérivée particulaire de la quantité de mouvement prend alors un expression très simple :
:<math>\frac{\mathrm d \overrightarrow p}{\mathrm d t}
=\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t} \mathrm dV
</math>.
 
=== Forces volumiques ===
 
Les forces de volume peuvent s'exprimer simplement :
 
:<math>\overrightarrow{F_V} = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \overrightarrow{f_V}\, \mathrm d V
</math>.
 
Dans la grande majorité des cas en mécanique des fluides, la seule force à distance que subit le fluide est son poids. Dans ce cas :
 
:<math>\overrightarrow{F_V} = \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \rho\, \overrightarrow{g}\, \mathrm d V
</math>.
 
Cette force est elle-même souvent négligée dans le cas des gaz.
 
=== Forces surfaciques ===
 
Les forces de surface qui s'applique sur la surface <math>S</math> fermée frontière du volume <math>\mathrm dV</math> sont un peu plus subtiles à détailler.
 
:<math>\overrightarrow{F_S} =
\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
\overrightarrow{\mathrm d F_S}
</math>
 
Elles sont modélisées par une matrice<ref>Tenseur d'ordre (ou de rang) 2</ref> nommée tenseur des contraintes.
:<math>\overline\overline\mathrm{\tau} = \begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\
\end{pmatrix}
</math>
 
de sorte que<ref>[https://books.google.fr/books?id=PdxOsIkhZCcC&pg=PA24&dq=equation+de+continuit%C3%A9+bilan+masse&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwi_2Z_soqPOAhUJ2RoKHZ2dABQQ6AEIMDAD#v=onepage&q=equation%20de%20continuit%C3%A9%20bilan%20masse&f=false ''Mécanique des fluides appliquée''], Pierre-Louis Viollet, Jean-Paul Chabard, Pascal Esposito.
</ref>
 
:<math>\overrightarrow{\mathrm d F_S} = \overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} \mathrm dS_x \\ \mathrm dS_y \\ \mathrm dS_z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}\,\mathrm dS_x + \tau_{xy}\,\mathrm dS_y + \tau_{xz}\,\mathrm dS_z \\
\tau_{yx}\,\mathrm dS_x + \sigma_{yy}\,\mathrm dS_y + \tau_{yz}\,\mathrm dS_z \\
\tau_{zx}\,\mathrm dS_x + \tau_{zy}\,\mathrm dS_y + \sigma_{zz}\,\mathrm dS_z \\
\end{pmatrix}
</math>
 
On peut exprimer les forces de surface :
 
:<math>\overrightarrow{F_S}
=
\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
\overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V
\overrightarrow \hbox{div}\ \overline\overline\mathrm{\tau} {\mathrm d V}
</math>,
 
avec
 
:<math>\overrightarrow \hbox{div}\ \overline\overline\mathrm{\tau} = \begin{pmatrix}
\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{xy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{xz}}{\partial z}\\
\frac{\partial\tau_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{yy}}{\partial y} + \frac{\partial\tau_{yz}}{\partial z}\\
\frac{\partial\tau_{zx}}{\partial x} + \frac{\partial\tau_{zy}}{\partial y} + \frac{\partial\sigma_{zz}}{\partial z}\\
\end{pmatrix}
</math>.
 
=== Équation bilan ===
 
Le bilan de la quantité de mouvement peut donc s'écrire :<center>{{Encadre|contenu =
<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \left(\frac{\partial (\rho {\overrightarrow {v})}}{\partial t}
+ \overrightarrow{\mathrm{div}} \left(\rho {\overrightarrow {v}} \otimes \overrightarrow{v} \right)
\right) \mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \overrightarrow{f_V}\, \mathrm d V
+\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
\overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
</math>,}}
</center>
 
ou encore plus simplement<center>{{Encadre|contenu =
 
<math>\int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \rho \frac{\mathrm d \overrightarrow{v}}{\mathrm d t} \mathrm dV
= \int\!\!\!\!\!\int\!\!\!\!\!\int_V \overrightarrow{f_V}\, \mathrm d V
+\int\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\!\!\supset\!\!\!\!\!\!\!\int_S
\overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
</math>.}}
</center>
 
== Forme locale ==
Ligne 309 ⟶ 158 :
+\rho\,(\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} )\cdot \overrightarrow{v}
</math>
:
:
 
:
 
<math>\rho \frac{\partial \overrightarrow{v}} {\partial t}
Récupérée de « https://fr.wikiversity.org/wiki/Utilisateur:Ellande/Brouillon2 »