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[[Fichier:Composantes tenseur des contraintes.png|vignette|400x400px|Illustration]]Les forces surfaciques qui s'appliquent sur les faces d'un élément de volume <math>\mathrm d V=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> sont modélisées par le tenseur des contraintes. L'illustration ci-contre permet de comprendre comment se décomposent ces forces.
Sur chaque face, par convention, le vecteur surface est orienté vers l'extérieur du volume. Par exemple, la face la plus proche de nous sur l'illustration a un vecteur surface <math>\overrightarrow{\mathrm d S}
=\mathrm dS_x\,\overrightarrow{e_x} =\mathrm dy\,\mathrm dz\,\overrightarrow{e_x}</math>. La force qui s'exerce sur cette face peut être décomposée en 3 forces : * une force normale à la surface <math>\overrightarrow{\mathrm d F_1}=\sigma_{xx}\,\mathrm dy\,\mathrm dz\,\overrightarrow{e_x}</math> ;
* deux forces dans le plan de la surface :
** <math>\overrightarrow{\mathrm d F_2}=\tau_{yx}\,\mathrm dy\,\mathrm dz\,\overrightarrow{e_y}</math> dans la direction de l'axe <math>(Oy)</math> ;
** <math>\overrightarrow{\mathrm d F_2}=\tau_{zx}\,\mathrm dy\,\mathrm dz\,\overrightarrow{e_z}</math> dans la direction de l'axe <math>(Oy)</math>.
Les indices associés à chaque contrainte indique, dans l'ordre, la direction de la force et la face sur laquelle la force s'applique. Les contraintes situées sur la diagonale correspondent à des forces de pression ce qui justifie que l'on leur affecte un nom différent. Les autres correspondent à des contraintes de cisaillement dues à la viscosité dans le cas de la mécanique des fluides.
La résultante des forces qui s'exerce sur l'élément de volume peut s'écrire :
<math>\overrightarrow{\mathrm d F_V} = \sum_i \overrightarrow{\mathrm d F_i}
=
\begin{pmatrix}
\left[\sigma_{xx}(x+\mathrm dx)-\sigma_{xx}(x)\right]\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \left[\tau_{xy}(y+\mathrm dy)-\tau_{xy}(y)\right]\mathrm dx \,\mathrm dz
+ \left[\tau_{xz}(z+\mathrm dz)-\tau_{xz}(z)\right]\mathrm dx \,\mathrm dy
\\ \left[\tau_{yx}(x+\mathrm dx)-\tau_{yx}(x)\right]\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \left[\sigma_{yy}(y+\mathrm dy)-\sigma_{yy}(y)\right]\mathrm dx \,\mathrm dz
+ \left[\tau_{yz}(z+\mathrm dz)-\tau_{yz}(z)\right]\mathrm dx \,\mathrm dy
\\ \left[\tau_{zx}(x+\mathrm dx)-\tau_{zx}(x)\right]\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \left[\tau_{zy}(y+\mathrm dy)-\tau_{zy}(y)\right]\mathrm dx \,\mathrm dz
+ \left[\sigma_{zz}(z+\mathrm dz)-\sigma_{zz}(z)\right]\mathrm dx \,\mathrm dy
\\
\end{pmatrix}
</math>,
<math>\overrightarrow{\mathrm d F_V}
=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
\\ \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \frac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
\\ \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial y} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial y} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
+ \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial y} \mathrm dx \,\mathrm dy \,\mathrm dz
\\
\end{pmatrix}
</math>
<math>\overrightarrow{\mathrm d F_V}
= \overrightarrow{\mathrm{div}}
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\
\end{pmatrix}
\, \mathrm d V
</math>
En ajoutant les forces orientées dans la même direction, la résultante de l'ensemble des forces sur une surface élémentaire d'orientation quelconque s'exprime :
<math>\overrightarrow{\mathrm d F_S} = \overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\
\end{pmatrix} \times
\begin{pmatrix} \mathrm dS_x \\ \mathrm dS_y \\ \mathrm dS_z \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sigma_{xx}\,\mathrm dS_x + \tau_{xy}\,\mathrm dS_y + \tau_{xz}\,\mathrm dS_z \\
\tau_{yx}\,\mathrm dS_x + \sigma_{yy}\,\mathrm dS_y + \tau_{yz}\,\mathrm dS_z \\
\tau_{zx}\,\mathrm dS_x + \tau_{zy}\,\mathrm dS_y + \sigma_{zz}\,\mathrm dS_z \\
\end{pmatrix}
</math>.
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