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== Tenseur des contraintes ==
[[Fichier:Composantes tenseur des contraintes.png|vignette|400x400px|Illustration]]Les forces surfaciques qui s'appliquent sur les faces d'un élément de volume <math>\mathrm d V=\mathrm dx\,\mathrm dy\,\mathrm dz</math> sont modélisées par le tenseur des contraintes. L'illustration ci-contre permet de comprendre comment se décomposent ces forces. ▼
=== Force exercée sur une surface <math>S</math> ===
En ajoutant les forces orientées dans la même direction, la résultante de l'ensemble des forces sur une surface élémentaire d'orientation quelconque s'exprime :▼
<math>\overrightarrow{\mathrm d F_S} = \overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S} ▼
= ▼
\begin{pmatrix} ▼
\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\▼
\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\▼
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\▼
\end{pmatrix} \times▼
\begin{pmatrix} \mathrm dS_x \\ \mathrm dS_y \\ \mathrm dS_z \end{pmatrix}▼
=▼
\begin{pmatrix} ▼
\sigma_{xx}\,\mathrm dS_x + \tau_{xy}\,\mathrm dS_y + \tau_{xz}\,\mathrm dS_z \\▼
\tau_{yx}\,\mathrm dS_x + \sigma_{yy}\,\mathrm dS_y + \tau_{yz}\,\mathrm dS_z \\▼
\tau_{zx}\,\mathrm dS_x + \tau_{zy}\,\mathrm dS_y + \sigma_{zz}\,\mathrm dS_z \\▼
\end{pmatrix}▼
</math>.▼
[[Fichier:Composantes tenseur des contraintes.png|vignette|400x400px|Illustration]]
=== Force exercée sur un élément de volume <math>\mathrm d V</math> ===
▲
Sur chaque face, par convention, le vecteur surface est orienté vers l'extérieur du volume. Par exemple, la face la plus proche de nous sur l'illustration a un vecteur surface <math>\overrightarrow{\mathrm d S}
Ligne 187 ⟶ 209 :
\end{pmatrix}
\, \mathrm d V
= \overrightarrow{\mathrm{div}} \,\overline{\overline{\tau}}\, \mathrm d V
</math>
▲En ajoutant les forces orientées dans la même direction, la résultante de l'ensemble des forces sur une surface élémentaire d'orientation quelconque s'exprime :
▲<math>\overrightarrow{\mathrm d F_S} = \overline{\overline{\tau}} \times \overrightarrow{\mathrm d S}
▲=
▲\begin{pmatrix}
▲\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
▲\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz} \\
▲\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz} \\
▲\end{pmatrix} \times
▲\begin{pmatrix} \mathrm dS_x \\ \mathrm dS_y \\ \mathrm dS_z \end{pmatrix}
▲=
▲\begin{pmatrix}
▲\sigma_{xx}\,\mathrm dS_x + \tau_{xy}\,\mathrm dS_y + \tau_{xz}\,\mathrm dS_z \\
▲\tau_{yx}\,\mathrm dS_x + \sigma_{yy}\,\mathrm dS_y + \tau_{yz}\,\mathrm dS_z \\
▲\tau_{zx}\,\mathrm dS_x + \tau_{zy}\,\mathrm dS_y + \sigma_{zz}\,\mathrm dS_z \\
▲\end{pmatrix}
▲</math>.
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