« Axiomes de Peano » : différence entre les versions
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rectifs et compléments |
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Ligne 12 :
== Les Axiomes de Peano ==
Leur ensemble est l’ensemble <math>\N</math> et est défini par les axiomes de Peano :
# L'ensemble possède un
# Chaque élément n possède un successeur que l’on
#
# Tout sous-ensemble de <math>\N</math> contenant 0 et tous les successeurs de ses propres éléments est
== Quelques conséquences ==
* À partir de ces axiomes,
*
*
:# <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a + S(b) = S(a + b).</math>
:# <math>\forall a \in \N : a + 0 = a.</math><br />On montre alors que <math>\forall a \in \N : a + 1 = S(a).</math>
▲* Nous pouvons définir la '''multiplication''' par les deux axiomes suivants :
:# <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a . S(b) = a + a . b</math>
:# <math>\forall a \in \N : a . 0 = 0.</math>
*On peut définir l'ordre usuel par : <math>\forall (a,b) \in \N^2 : a\le b\Leftrightarrow\exists c\in\N\quad b=a+c.</math>. On montre alors que <math>0</math> est le plus petit entier naturel.
== Conclusion ==
Ces axiomes permettent de ''démontrer'', et non plus d'''admettre'', toutes les propriétés des deux opérations de base.
Ainsi il est très facile, voire amusant, de démontrer par des récurrences les propriétés suivantes :
* pour l''''addition''' :
** La commutativité
** L'associativité
** La neutralité de 0
* pour la '''multiplication''' :
** La commutativité
** L'associativité
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