« Continuité et variations/Théorème des valeurs intermédiaires » : différence entre les versions

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il existe (au moins) un réel <math>c \in [a;b]</math> vérifiant l'équation : <math>f(c)=k</math>.
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{{Démonstration déroulante|titre=Démonstration |contenu=Quitte à considérer <math>-f</math> et passer le problème à l'opposé, on peut supposer <math>f(a) \leq f(b)</math>.
 
Soit <math> y \in [f(a), f(b)]</math>. On souhaite établir l’existence de <math>x\in[a,b]</math> vérifiant <math>f(x) = y</math>.
 
On va construire par un procédé dichotomique deux suites adjacentes <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> dont la limite commune sera un <math>x</math> tel que <math>f(x) = y</math>.
 
''Etape initiale :''
 
On pose <math>a_0 = a</math> et <math>b_0 = b</math>, on vérifie <math>f(a_0) \leq y \leq f(b_0)</math>;
 
''Etape 1 :''
 
On introduit <math>d = \dfrac{a_0+b_0}{2}</math>.
 
Si <math>f(d) \leq y</math>, on pose <math>a_1 = d</math> et <math>b_1 = b_0</math>.
 
Si <math>f(d) > y</math>, on pose <math>a_1 = a_0</math> et <math>b_1 = d</math>.
 
Dans les deux cas, on vérifie <math>f(a_1) \leq y \leq f(b_1)</math>.
 
''Etape n+1 :''
 
On introduit <math>d = \dfrac{a_n+b_n}{2}</math>.
 
Si <math>f(d) \leq y</math>, on pose <math>a_{n+1} = d</math> et <math>b_{n+1} = b_n</math>.
 
Si <math>f(d) > y</math>, on pose <math>a_{n+1} = a_n</math> et <math>b_{n+1} = d</math>.
 
Dans les deux cas, on vérifie <math>f(a_{n+1}) \leq y \leq f(b_{n+1})</math>.
 
On définit ainsi deux suites <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> et <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math>, et par construction on vérifie :
 
<center><math>\forall n\in\mathbb N \;,\; a_{n+1} \geq a_n \;,\; b_{n+1} \leq b_n \;\;\mathrm{et}\;\; b_{n+1} - a_{n+1} = \dfrac{b_n - a_n}{2}</math></center>
 
La suite <math>(a_n)</math> est croissante, la suite <math>(b_n)</math> est décroissante et <math>b_n - a_n = \dfrac{b-a}{2^n} \;\xrightarrow[n\to+\infty]{}\;0</math>.
 
Ainsi ces deux suites sont adjacentes.
 
Notons <math>x</math> leur limite commune. Puisque <math>a_n \longrightarrow x</math> et <math>b_n \longrightarrow x</math>, on a <math>f(a_n) \longrightarrow f(x)</math> et <math>f(b_n) \longrightarrow f(x)</math>.
 
Or, pour tout <math>n\in\mathbb N</math>, <math>f(a_n) \leq y \leq f(b_n)</math>, donc par le théorème des gendarmes, on obtient <math>y = f(x)</math>.
 
L'existence est ainsi établie.
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