« Solide de Platon » : différence entre les versions

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Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.
 
{{boîte déroulante|titre=Descriptions= Description et sections planes classiques {{passage inédit|date=septembre 2011}}|contenu=
{{Section à sourcer|date=septembre 2011}}
{{à désacadémiser|date=septembre 2011}}
La première rubrique n’expose pas seulement des propriétés de l’octaèdre et du cube. Elle compare certaines [[#sctions|sections planes]] des deux solides à des sections de dodécaèdre. Elle prépare à l’étude des autres solides en expliquant des concepts utiles, par exemple {{nobr|[[#axedef|la notion d’axe]]}} de certains objets, ou la [[#dualdef|notion de dual]] d’un solide. Grâce à la rubrique des [[#Contre-exemples|contre-exemples,]] l’emploi des adjectifs « régulier » et « convexe » est plus compréhensible.
 
;=== Octaèdre et cube ===
 
Nous interprétons [[#i_1|l’image]] quand nous regardons {{nobr|l’octaèdre de dessus.}} L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. [[Perspective (représentation)|La perspective]] donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ''ABC'' et ''HLU'' sont superposables {{nobr|[[isométrie|– isométriques –. ]]}} Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet ''A.'' L’arête cachée [''LU ''] est en pointillé, ainsi le veut une règle {{nobr|[[géométrie descriptive|de géométrie descriptive.]]}}
 
Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 [[#i_2|et 2.]]
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[[File:Academviews regular octahedron.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}1.'''{{Ancre|i_2}}<br/>Un octaèdre régulier vu en&nbsp;élévation et&nbsp;vu de&nbsp;dessus. Ses&nbsp;faces ''ABC'' et&nbsp;''HLU'' sont horizontales.]]
[[File:Academ RegularOctahedron UnchangedCrossSectionsByOneThirdOrQuarterTurn.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de &nbsp;rotation, un &nbsp;quart de tour autour de &nbsp;(''CS '') ou un tiers de tour autour de &nbsp;(''TS '') transforme l’octaèdre en &nbsp;lui-même, et &nbsp;conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de &nbsp;rotation.]]
'''Épure {{n°}}1.'''{{Ancre|i_2}}<br/>Un octaèdre régulier vu en élévation et vu de dessus. Ses faces ''ABC'' et ''HLU'' sont horizontales.]]
[[File:Academ RegularOctahedron UnchangedCrossSectionsByOneThirdOrQuarterTurn.svg|thumb|
'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de rotation, un quart de tour autour de (''CS '') ou un tiers de tour autour de (''TS '') transforme l’octaèdre en lui-même, et conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de rotation.]]
 
Une '''diagonale d’un polyèdre''' est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère ''circonscrite'' – la sphère qui passe par tous ses sommets –. {{nobr|Le centre ''S''}} de la sphère est le ''centre'' commun des carrés. En effet, on appelle ''centre'' d’un rectangle ou d’un {{nobr|[[polygone régulier]]}} le centre de son cercle [[Cercle circonscrit|circonscrit.]] N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le ''centre du solide.''
 
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_3"> </div>
[[File:Academ RegularOctahedronSeenInTheDirectionOfADiagonal RegularCrossSections.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}3.'''<br />Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.]]
'''Épure {{numéro}}3.'''<br />Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.]]
 
Un quart de tour autour de n’importe quelle diagonale conserve l’octaèdre. L’épure 2 attire l’attention sur des quarts de tour autour de (''CS ''), {{nobr|[[#i_3|et l’épure 3]]}} sur des quarts de tour autour de (''AS ''). Malgré l’absence de lettres dans l’épure 3, l’octaèdre est reconnaissable grâce aux couleurs des faces et des arêtes. Et on peut quand même désigner les points par leurs noms.
 
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_4"> </div>
[[File:Academ Elevation Cube in its dual.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]
'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]
 
Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers {{nobr|[[Médiane (géométrie)|de chaque médiane]]}} d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. [[#i_3|L’épure 3]] permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre ''K'' de ''ALU'' est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.
 
<div id="i_6" style="float:right;width:300px;height:90px;border:black dashed;margin:3em;padding:3em">Une '''épure {{numéro}}5''' est prévue, où se couperont des sections diagonales d’un cube.</div>
[[File:AcademViews Cube EquatorialCrossSectionOrthogonalToADiagonal.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}6.'''<br />Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme [[#i_4|dans l’épure {{numéro}}4.]]]]
'''Épure {{numéro}}6.'''<br />Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme [[#i_4|dans l’épure {{numéro}}4.]]]]
 
Dans la présente rubrique et dans la prochaine, ''h'' est le tiers de la longueur d’une diagonale du cube. {{nobr|''h'' √{{surligner|3}} est}} alors la longueur d’une arête du cube, {{nobr|et ''h'' √{{surligner|6}} }} la distance entre deux arêtes opposées.
Visible dans [[#i_1|l’épure {{numéro}}1,]] l’angle entre une diagonale et une face d’un octaèdre mesure ''γ.'' Le supplément {{nobr|de&nbsp; ( 2 ''γ '')&nbsp;}} est l’angle de deux faces adjacentes. Quand un octaèdre régulier a deux faces horizontales, le complément de ''γ'' est l’inclinaison de ses six arêtes obliques, ou l’inclinaison de ses trois plans diagonaux. La lettre ''γ'' désigne la même mesure d’angle sous le prochain titre.
 
{{clear}}
<div style="clear: both"> </div>
 
;=== Cube et tétraèdre ===
 
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_7"> </div>
[[File:Academ truncated cube on triangular face.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}7.'''{{Ancre|i_8}}<br/>En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale &nbsp;''KMN. &nbsp;'' Trois troncatures de &nbsp;plus, et on obtient le tétraèdre régulier &nbsp;''TKMN.'']]
[[File:Academ truncated cube on triangular face.svg|thumb|
[[File:Academ Three concentric platonic solids in a cube.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}8.'''{{Ancre|i_9}}<br/>Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.]]
'''Épure {{n°}}7.'''{{Ancre|i_8}}<br/>En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale ''KMN. '' Trois troncatures de plus, et on obtient le tétraèdre régulier ''TKMN.'']]
[[File:AcademViews RegularTetrahedron in a cube.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}9.'''<br />Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun ''S'' des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.]]
[[File:Academ Three concentric platonic solids in a cube.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}8.'''{{Ancre|i_9}}<br/>Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.]]
[[File:AcademViews RegularTetrahedron in a cube.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}9.'''<br />Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun ''S'' des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.]]
 
Un tétraèdre régulier est une pyramide régulière triangulaire, dont les six arêtes sont égales. Avec quatre faces et quatre sommets, ce tétraèdre est son [[#dualdef|propre dual.]] Par exemple, les centres de ses faces sont les sommets d’un solide semblable concentrique.
<div style="clear: both"> </div>
 
;=== Dodécaèdre de Platon ===
 
Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. [[#j_10|L’épure {{n°}}10]] montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent '''les plis''' de la feuille : les cinq côtés de la face centrale <span style="font-weight:bold;font-style:italic">RSUVW.</span> Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?
 
<div style="clear: both;text-align:right" id="j_10"> </div>
[[File:Academ six unfolded faces dodecahedron.svg|thumb|upright=2|'''Épure {{n°}}10.'''<br />Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.]]
'''Épure {{n°}}10.'''<br />Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.]]
 
Dans toute la rubrique, ''a'' sera la longueur des trente arêtes du solide, et ''d'' celle des soixante diagonales des douze faces. Par exemple dans l’épure {{n°|10, }} {{nobr|1=''UV'' = ''a. ''}} {{nobr|1=Et ''WS '' = φ ''a '' = ''d'', }} où la lettre φ désigne le {{nobr|[[nombre d'or]] :}}
 
<div style="clear: both;text-align:right" id="j_11"> </div>
[[File:AcademViews PlatonicDodecahedron RegularDecagon.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}11'''.{{Ancre|j_12}}<br/>Un dodécaèdre en élévation et de dessus. Deux faces du solide sont horizontales. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier convexe aux côtés blancs.]]
[[File:Academviews Platonic dodecahedron.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}1112'''.{{Ancre|j_12}}<br />Un dodécaèdre enEn élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. DeuxChaque facesface dude solidece sontcube horizontales.contient Laune sectionarête équatorialedu horizontaledodécaèdre. estQuelques lesections décagoneplanes réguliersont convexetracées, qui sont auxdes côtéspolygones blancsréguliers.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron EquatorialRegularHexagons.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}13'''.{{Ancre|j_14}}<br/>Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.]]
[[File:Academviews Platonic dodecahedron.svg|thumb|
[[File:Academ PlatonicDodecahedron twentyRegularHexagons GoldenRatio Notations.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}14'''.<br />Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.]]
'''Épure {{n°}}12'''.<br />En élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. Chaque face de ce cube contient une arête du dodécaèdre. Quelques sections planes sont tracées, qui sont des polygones réguliers.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron EquatorialRegularHexagons.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}13'''.{{Ancre|j_14}}<br/>Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.]]
[[File:Academ PlatonicDodecahedron twentyRegularHexagons GoldenRatio Notations.svg|thumb|
'''Épure {{n°}}14'''.<br />Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.]]
 
Dans tous les contours du solide en perspective, au moins deux arêtes opposées ont leur distance en vraie grandeur. Entre deux arêtes symétriques l’une de l’autre par rapport à ''Ω'', la distance {{nobr|φ ''d'', }} ou {{nobr|φ{{Exp|2}} ''a'', }} est aussi la distance entre les milieux des deux arêtes. Une droite passant par ''Ω'' et par le milieu d’une arête est un axe de symétrie du dodécaèdre.
{{clear}}
 
;=== Icosaèdre de Platon ===
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre File:Academ lesTwo centresstellations desof facesa d'unPlatonic dodécaèdre sont les sommets d'un icosaèdre de Platon [[Concentricitédodecahedron.svg|concentrique]] et, inversement, les centres des faces d'un icosaèdre de Platon sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentriquethumb|upright=1.5|left| Les sommets d'un icosaèdre de Platon peuvent êtreici construits à &nbsp;partir d'un &nbsp;dodécaèdre de &nbsp;Platon, en &nbsp;prolongeant ses &nbsp;arêtes (voir {{Commons-inline|Category:Dodecahedron and icosahedron|Dodécaèdre et icosaèdre}}).]]
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de&nbsp;l'autre&nbsp;: les centres des faces d'un icosaèdre sont les sommets d'un dodécaèdre de&nbsp;Platon [[Concentricité|concentrique]], et&nbsp;inversement les centres des faces d'un dodécaèdre de&nbsp;Platon sont les sommets d'un icosaèdre concentrique. On&nbsp;peut construire ces sommets-là en&nbsp;prolongeant [[#Icosaèdre_de_Platon|les&nbsp;arêtes]] d'un&nbsp;dodécaèdre de&nbsp;Platon, ce qui revient [[Stellation#Les_polygones_étoilés|à&nbsp;étoiler]] les douze faces du&nbsp;dodécaèdre. Les&nbsp;sommets [[Pentagramme#Le_pentagramme,_figure_géométrique|du&nbsp;pentagone&nbsp;étoilé]] sont les sommets d'une section régulière classique de&nbsp;l'icosaèdre, qui&nbsp;contient cinq&nbsp;arêtes du&nbsp;solide. En&nbsp;étoilant le dodécaèdre, autrement dit en prolongeant ses faces, on obtient un dodécaèdre étoilé de mêmes sommets que&nbsp;l'icosaèdre&nbsp;: un&nbsp;[[Petit dodécaèdre étoilé|petit&nbsp;dodécaèdre&nbsp;étoilé]] ou&nbsp;un [[Grand dodécaèdre|grand&nbsp;dodécaèdre]].
{{clear}}
 
;=== Contre-exemples ===
{{Ancre|triangularbipyramid}}Pour qu’un polyèdre soit '''régulier''', il faut que toutes ses faces soient des polygones [[Polygone régulier|réguliers]] isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « [[diamant triangulaire]] », cet hexaèdre [[Ensemble convexe|est convexe.]] Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, {{nobr|soit à quatre.}} Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.
 
{{Ancre|tetrahemihexa}}Parce que '''les faces d’un polyèdre peuvent se couper''', définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces [[tétrahémihexaèdre|d’un tétrahémihexaèdre,]] qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est [[#triangularbipyramid|ni régulier,]] ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre {{nobr|[[#i_1|de l’épure {{n°}}1]]}} par<span style="font-weight:bold;font-style:italic"> ABCHLU </span> par exemple, '''ce serait incorrect''' parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.
{{clear}}
 
}}
 
== Symétrie ==
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