|
[[File:Academ Two stellations of a Platonic dodecahedron.svg|thumb|upright=1.5|left| Les sommets d'un icosaèdre de Platon ici construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes.]]
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un icosaèdre sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon [[Concentricité|concentrique]], et inversement les centres des faces d'un dodécaèdre de Platon sont les sommets d'un icosaèdre concentrique. On peut construire ces sommets-là en prolongeant [[#Icosaèdre_de_Platon|les arêtes]] d'un dodécaèdre de Platon, ce qui revient [[Stellation#Les_polygones_étoilés|à étoiler]] les douze faces du dodécaèdre. Les sommets [[Pentagramme#Le_pentagramme,_figure_géométrique|du pentagone étoilé]] sont les sommets d'une section régulière classique de l'icosaèdre, qui contient cinq arêtes du solide. En étoilant le dodécaèdre, autrement dit en prolongeant ses faces, on obtient un dodécaèdre étoilé de mêmes sommets que l'icosaèdre : un [[Petit dodécaèdre étoilé|petit dodécaèdre étoilé]] ou un [[Grand dodécaèdre|grand dodécaèdre]]. Inversement, on obtient un dodécaèdre régulier convexe en tronquant douze fois un dodécaèdre étoilé, quand les plans de sections sont les plans des faces du polyèdre étoilé. On obtient aussi un dodécaèdre de Platon en tronquant à chaque sommet un icosaèdre de Platon, par une section passant par les extrêmités des trois arêtes issues du sommet tronqué.
{{clear}}
=== Contre-exemples ===
{{Ancre|triangularbipyramid}}Pour qu’un polyèdre soit '''régulier''', il faut que toutes ses faces soient des polygones [[Polygone régulier|réguliers]] isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « [[diamant triangulaire]] », cet hexaèdre [[Ensemble convexe|est convexe.]] Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, {{nobr|soit à quatre.}} Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.
{{Ancre|tetrahemihexa}}Parce que '''les faces d’un polyèdre peuvent se couper''', définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces [[tétrahémihexaèdre|d’un tétrahémihexaèdre,]] qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est [[#triangularbipyramid|ni régulier,]] ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre {{nobr|[[#i_1|de l’épure {{n°}}1]]}} par<span style="font-weight:bold;font-style:italic"> ABCHLU </span> par exemple, '''ce serait incorrect''' parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.
{{clear}}
=== Icosaèdre de Platon ===
[[File:Academ Two stellations of a Platonic dodecahedron.svg|thumb|upright=1.5|left| Les sommets d'un icosaèdre de Platon ici construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes.]]
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un icosaèdre sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon [[Concentricité|concentrique]], et inversement les centres des faces d'un dodécaèdre de Platon sont les sommets d'un icosaèdre concentrique. On peut construire ces sommets-là en prolongeant [[#Icosaèdre_de_Platon|les arêtes]] d'un dodécaèdre de Platon, ce qui revient [[Stellation#Les_polygones_étoilés|à étoiler]] les douze faces du dodécaèdre. Les sommets [[Pentagramme#Le_pentagramme,_figure_géométrique|du pentagone étoilé]] sont les sommets d'une section régulière classique de l'icosaèdre, qui contient cinq arêtes du solide. En étoilant le dodécaèdre, autrement dit en prolongeant ses faces, on obtient un dodécaèdre étoilé de mêmes sommets que l'icosaèdre : un [[Petit dodécaèdre étoilé|petit dodécaèdre étoilé]] ou un [[Grand dodécaèdre|grand dodécaèdre]].
{{clear}}
|
