« Solide de Platon » : différence entre les versions

Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un icosaèdre sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon [[Concentricité|concentrique]], et inversement les centres des faces d'un dodécaèdre de Platon sont les sommets d'un icosaèdre concentrique. On peut construire ces sommets-là en prolongeant [[#Icosaèdre_de_Platon|les arêtes]] d'un dodécaèdre de Platon, ce qui revient [[Stellation#Les_polygones_étoilés|à étoiler]] les douze faces du dodécaèdre. Les sommets [[Pentagramme#Le_pentagramme,_figure_géométrique|du pentagone étoilé]] sont les sommets d'une section régulière classique de l'icosaèdre, qui contient cinq arêtes du solide. En étoilant le dodécaèdre, autrement dit en prolongeant ses faces, on obtient un dodécaèdre étoilé de mêmes sommets que l'icosaèdre : un [[Petit dodécaèdre étoilé|petit dodécaèdre étoilé]] ou un [[Grand dodécaèdre|grand dodécaèdre]]. Inversement, on obtient un dodécaèdre régulier convexe en tronquant douze fois un dodécaèdre étoilé, quand les plans de sections sont les plans des faces du polyèdre étoilé. On obtient aussi un dodécaèdre de Platon en tronquant à chaque sommet un icosaèdre de Platon, par une section passant par les extrêmités des troiscinq arêtes issues du sommet tronqué.