« Solide de Platon » : différence entre les versions

 

Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 [[#i_2|et 2.]]

[[File:Academviews regular octahedron.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}1.'''{{Ancre|i_2}}<br/>Un octaèdre régulier vu en&nbsp;élévation et&nbsp;vu de&nbsp;dessus. Ses&nbsp;faces ''ABC'' et&nbsp;''HLU'' sont horizontales.]]

[[File:Academ RegularOctahedron UnchangedCrossSectionsByOneThirdOrQuarterTurn.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de&nbsp;rotation, un&nbsp;quart de tour autour de&nbsp;(''CS '') ou un tiers de tour autour de&nbsp;(''TS '') transforme l’octaèdre en&nbsp;lui-même, et&nbsp;conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de&nbsp;rotation.]]

Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans [[#i_2|l’épure 2,]] l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une [[homothétie]] {{nobr|de centre ''C.'' }} Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (''CS ''), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.

 

[[File:Academ RegularOctahedronSeenInTheDirectionOfADiagonal RegularCrossSections.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}3.'''<br />Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.]]

 

À partir du centre d’une face, on obtient les centres de trois autres faces par trois quarts de tour successifs dans le même sens autour de (''AS ''). Les centres des cibles représentent les sommets de deux carrés d’axe (''AS ''), dans deux plans parallèles distincts. En tournant autour d’une autre diagonale de l’octaèdre, des quarts de tour auront le même effet. Par conséquent, les centres des faces triangulaires sont les sommets d’un polyèdre de six faces carrées. Ce polyèdre est un cube contenu [[#i_4|dans l’octaèdre.]]

 

[[File:Academ Elevation Cube in its dual.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]

 

=== Cube et tétraèdre ===

 

[[File:Academ truncated cube on triangular face.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}7.'''{{Ancre|i_8}}<br/>En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale&nbsp;''KMN.&nbsp;'' Trois troncatures de&nbsp;plus, et on obtient le tétraèdre régulier&nbsp;''TKMN.'']]

[[File:Academ Three concentric platonic solids in a cube.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}8.'''{{Ancre|i_9}}<br/>Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.]]

 

''S'' est le centre des sphères inscrite et circonscrite à ''TKMN. '' La position de ''S'' est la même sur les quatre hauteurs du tétraèdre. En élévation, l’épure {{n°}}9 montre les deux sphères centrées au quart de [''TR ''] à partir de la base correspondante. Les trois coordonnées de ''R'' sont égales à l’opposé d’un tiers. La sphère inscrite dans ''TKMN'' est trois fois plus petite que la circonscrite. Son diamètre ''h'' est égal à <math>\tfrac{2\,\sqrt{3}}3</math>, avec l’unité de longueur choisie dans l’épure.

 

=== Dodécaèdre de Platon ===

Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. [[#j_10|L’épure {{n°}}10]] montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent '''les plis''' de la feuille : les cinq côtés de la face centrale <span style="font-weight:bold;font-style:italic">RSUVW.</span> Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?

 

[[File:Academ six unfolded faces dodecahedron.svg|thumb|upright=2|'''Épure {{n°}}10.'''<br />Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.]]

 

À partir de l’épure {{n°}}11, les lettres qui nommaient les sommets du décagone ''KFNCLAPEMB '' ne désignent plus dix points coplanaires, elles désignent dix sommets du dodécaèdre. Quand les lettres sont absentes d’une épure, on reconnaît quand même le solide grâce aux couleurs de ses faces, les points de la figure de l’espace ont quand même leurs noms. [[#j_14|L’épure 14]] ne respecte pas les couleurs des faces, afin de mieux montrer un pavage de triangles colorés.

 

[[File:AcademViews PlatonicDodecahedron RegularDecagon.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}11'''.{{Ancre|j_12}}<br/>Un dodécaèdre en élévation et de dessus. Deux faces du solide sont horizontales. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier convexe aux côtés blancs.]]

[[File:Academviews Platonic dodecahedron.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{n°}}12'''.<br />En élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. Chaque face de ce cube contient une arête du dodécaèdre. Quelques sections planes sont tracées, qui sont des polygones réguliers.]]