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« Solide de Platon » : différence entre les versions

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→‎Octaèdre et cube : _dualité_canonique_supprimée, section_simplifiée_
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<div style="clear:both;text-align:right" id="i_4">&nbsp;</div>
[[File:Academ Elevation Cube in its dual.svg|thumb|upright=1.5|'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centressommets desde facesl’octaèdre dusont mêmenommés octaèdrecomme dans l’épure {{numéro}}1. Les centres de ses faces sont les sommets d’un cube.]]
 
Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers {{nobr|[[Médiane (géométrie)|de chaque médiane]]}} d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. [[#i_3|L’épure 3]] permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre ''K'' de ''ALU'' est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.
 
<span id="dualdef"
title=" Que signifie « dual » ? ">Étant donné un solide de Platon de ''p'' sommets et ''q''&nbsp;faces,</span> son&nbsp;'''dual''' est un solide de&nbsp;Platon qui a le même nombre d’arêtes, ''q''&nbsp;sommets et&nbsp;''p''&nbsp;faces. Quand on dit que cube et octaèdre sont duauxduals l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle «&nbsp;du&nbsp;» dual de l’un ou&nbsp;l’autre avec un article&nbsp;défini, alors on désigne par «&nbsp;cube&nbsp;» ou par «&nbsp;octaèdre&nbsp;» le nombre infini des polyèdres réguliers convexes, tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un&nbsp;cas, huit faces dans l’autre&nbsp;cas.
 
En prenant l’expression "solide de Platon" dans cette acception, c’est-à-dire en considérant un solide à une similitude près, voici une <span id="dual_def">autre définition de la dualité de cesdes solides de&nbsp;Platon&nbsp;: deux&nbsp;solides</span> sont duaux'''duals''' l’un de l’autre quand ils peuvent partager les milieux de&nbsp;toutes leurs&nbsp;arêtes. Quand un cube et un octaèdre ont en commun les milieux de&nbsp;leurs douze&nbsp;arêtes, leur&nbsp;intersection peut s’appeler un [[Cuboctaèdre|cube&nbsp;tronqué]] aussi bien qu’un octaèdre&nbsp;tronqué. Une&nbsp;façon de construire le dual d’un solide donné est de le tronquer à chaque sommet, par une section qui passe par les milieux des arêtes issues du sommet&nbsp;tronqué, puis de prolonger par des plans les faces du solide tronqué qui sont semblables à&nbsp;celles du solide&nbsp;voulu.
 
[[#i_4|L’épure 4]] montre une construction plus simple d’un dual [[Concentricité|concentrique]] d’un octaèdre donné. Dans [[#i_8|épure&nbsp;8]] de la prochaine rubrique, les centres des faces d’un cube sont les sommets d’un dual concentrique du&nbsp;cube.
À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual {{nobr|de même centre ? }} L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, [[#i_8|épure 8.]]
 
{{Ancre|canonicaldual}}Deux solides de Platon sont des duaux ''[[Canonique (mathématiques)|canoniques]]'' l’un de l’autre quand '''les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre'''. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.
 
L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre ''S. '' Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre du&nbsp;cube&nbsp;:&nbsp; son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (''AH '') sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec ''S'' représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [''VT ''] dans le plan vertical (''ATH ''). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.
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