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Un '''solide de Platon''' est un polyèdre [[#triangularbipyramid|régulier]] convexe. Il existe seulement cinq solides de Platon.
{{semi-protection}}
En [[géométrie euclidienne]], un '''solide de Platon''' est un [[polyèdre régulier]] et [[Ensemble convexe|convexe]]. Entre les [[polygone régulier|polygones réguliers]] et convexes de la géométrie plane, et les polyèdres réguliers convexes de l’espace à trois dimensions, il y a une analogie, mais aussi une différence notable. Les polygones réguliers convexes sont en nombre infini, leur nombre de côtés est n’importe quel nombre entier supérieur ou égal à trois. En revanche, il existe seulement cinq polyèdres [[#triangularbipyramid|réguliers]] convexes : les cinq solides de Platon.
{| border=1 style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse; border-color: #aaa;"
|}
==Descriptions et sections planes classiques==
Le nombre de faces du solide, 4, 6, 8, 12, ou 20, est dans le préfixe du nom du solide : ''tétra'' pour quatre, ''hexa'' pour six — un cube est un hexaèdre régulier —, ''octa'' pour huit, ''dodéca'' pour douze, ''icosa'' pour vingt. L’adjectif « régulier » sera souvent implicite dans cette page<ref>Dans le contexte de cette page, le mot ''régulier'' est implicite et généralement omis. Le mot ''irrégulier'' est parfois utilisé pour souligner le fait qu'un [[polyèdre]] n’est pas régulier, bien qu'il soit encore supposé avoir la même [[topologie]] que la forme régulière. D'autres formes topologiques très différentes, telles que le [[dodécaèdre rhombique]] qui possède douze faces [[losange|rhombiques]], ou un [[polyèdre étoilé]] non-convexe, comme le [[grand dodécaèdre]], ne sont jamais données avec des noms raccourcis.</ref>.
{{passage inédit|date=septembre 2011}}
[[Image:Pacioli.jpg|thumb|Dans ce portrait, par [[Jacopo de' Barbari]], de [[Luca Pacioli]], auteur de ''{{Lang|la|[[Nombre d'or#Renaissance|De divina proportione]]}}'', un [[dodécaèdre régulier]] est exposé en bas à droite.]]
Depuis les mathématiques grecques, les solides de Platon furent un sujet d’étude des [[Géométrie|géomètres]] en raison de leur [[beauté mathématique|esthétique]] et de leurs [[symétrie]]s. Leur nom, donné en l’honneur du [[philosophe]] grec [[Platon]], rappelle une de ses théories, associant quatre d’entre eux aux [[quatre éléments]] de l’ancienne physique.
== Histoire ==
Selon une étude, les peuples [[néolithique]]s d'[[Écosse]] auraient construit des modèles en pierre des « cinq solides » au moins {{formatnum:1000}} ans avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont gardés au [[Ashmolean Museum]] à [[Oxford]]. Mais cette conclusion est hâtive<ref>{{en}} [http://web.archive.org/web/20141107210738/http://archive.wikiwix.com/cache/display.php?url=http://www.neverendingbooks.org/index.php/the-scottish-solids-hoax.html The Scottish solids hoax]</ref>.
Dans l'histoire des [[mathématiques de la Grèce antique]], on peut tracer la chronologie suivante. Les [[Pythagore|pythagoriciens]] ont eu une connaissance empirique de trois solides : le tétraèdre (la pyramide), l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre (douze faces). Selon [[Proclos]], [[Pythagore]] lui-même (vers 530 av. J.-C.) aurait eu connaissance de ces solides. Mais ce peut être son disciple [[Hippase de Métaponte]] (qui aurait construit le premier dodécaèdre) ou, plus vraisemblablement, [[Archytas de Tarente]] (vers 360 av. J.-C.).{{Référence nécessaire}}
Il n'est pas fait mention de la pyramide avant Démocrite (fragment 155), actif vers 430 av. J.-C. Archytas aurait le premier construit le cube, pour résoudre le problème de la duplication du carré. Le premier, Platon mentionne le dodécaèdre, dans le ''Phédon'' (110b), qui date d'env. 383 av. J.-C. Le mathématicien [[Théétète d'Athènes]] (mort en 395 ou 360 av. J.-C.) a découvert les deux autres solides : l'octaèdre et l'icosaèdre ; surtout, il les a construits, le premier, tous les cinq<ref>{{de}} Eva Sachs, ''Die fünf platonischen Körper'', Berlin, 1917. Festugière, ''Etudes de philosophie grecque'', p. 385.</ref>.
Les solides de Platon jouent un rôle déterminant dans la [[philosophie]] de [[Platon]], à partir duquel ils ont été nommés. Platon, dans le dialogue [[Timée (Platon)|''Timée'']] (env. 358 av. J.-C.), associait chacun des [[quatre éléments]] (la [[Terre]], l'[[Air]], l'[[Eau]] et le [[Feu]]) avec un solide régulier. La Terre était associée avec le cube (''Timée'', 55d), l'Air avec l'octaèdre, l'Eau avec l'icosaèdre et le Feu avec le tétraèdre. Il existait une justification pour ces associations : la chaleur du Feu semble pointue et comme un poignard (comme un peu le tétraèdre). L'Air est constitué de l'octaèdre ; ses composants minuscules sont si doux qu'on peut à peine les sentir. L'Eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main lorsqu'on la saisit comme si elle était constituée de petites boules minuscules. Le solide le plus stable, l'hexaèdre (cube), représente la Terre. Ces petits solides font de la poussière lorsqu'ils sont émiettés et se cassent lorsqu'on s'en saisit, une grande différence avec l'écoulement doux de l'eau. Pour le cinquième solide de Platon, le dodécaèdre, Platon remarque obscurément, « le dieu utilisé pour arranger les constellations sur tout le ciel ». Platon mettait en correspondance le dodécaèdre avec le Tout (''Phédon'', 110b ; ''Timée'', 55c), parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. [[Aristote]] a nommé ce cinquième élément, [[éther (physique)|aithêr]] (''aether'' en latin, « éther » en français) et a postulé que l'univers était fait de cet élément, et qu'il était substantiel à tous les autres, qu'il les contenait tous.
[[Image:Kepler-solar-system-1.png|right|thumb|Modèle de [[Système solaire]] par des modèles de solides de Platon de Kepler issu du ''[[Johannes_Kepler#Le_Mysterium_Cosmographicum|Mysterium Cosmographicum]]'' ([[1596]])]]
[[Speusippe]], le successeur de Platon à l'Académie (en 348 av. J.-C.) a repensé la tradition pythagoricienne sur les cinq solides (Pythagore, Hippase, Archytas).
[[Euclide]] a donné une description mathématique complète des solides de Platon dans les [[Éléments d'Euclide|''Éléments'']] (env. 300 av. J.-C.) ; le dernier livre (Livre XIII) qui est consacré à leurs propriétés. Les propositions 13–17 dans le Livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport du diamètre à la sphère circonscrite à la longueur des arêtes. Dans la proposition 18, il argumente qu'il n'existe pas plus de polyèdres réguliers convexes. En effet, Pour être régulier, un polyèdre doit posséder le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360° (voir démonstration<ref name=":0">Yvan Monka,[[géométrie euclidienne| ''Les solides de Platon'']]
</ref>. Beaucoup des informations dans le Livre XIII proviennent probablement du travail de [[Théétète d'Athènes|Théétète]].
Au {{XVIe siècle}}, l'[[astronome]] [[Allemagne|allemand]] [[Johannes Kepler]] essaya de trouver une relation entre les cinq [[planète]]s connues à l'époque (en excluant la Terre) et les cinq solides de Platon. Dans le ''[[Johannes_Kepler#Le_Mysterium_Cosmographicum|Mysterium Cosmographicum]]'', publié en [[1596]], Kepler présenta un modèle de [[Système solaire]] dans lequel les cinq solides étaient fixés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Les six sphères correspondaient chacune aux planètes ([[Mercure (planète)|Mercure]], [[Vénus (planète)|Vénus]], la [[Terre]], [[Mars (planète)|Mars]], [[Jupiter (planète)|Jupiter]] et [[Saturne (planète)|Saturne]]). Les solides étaient ordonnés de l'intérieur vers l'extérieur, le premier étant l'octaèdre, suivi de l'icosaèdre, du dodécaèdre, du tétraèdre et finalement le cube. De cette manière, la structure du système solaire et les relations de distances entre les planètes étaient dictées par les solides de Platon. Vers la fin, l'idée originale de Kepler a été abandonnée, mais de cette recherche émergèrent la découverte des [[solide de Kepler-Poinsot|solides de Kepler]], la constatation que les orbites des planètes ne sont pas des cercles, et les [[lois de Kepler|lois du mouvement planétaire de Kepler]] pour lesquelles il est maintenant célèbre.
<div style="clear: both">
Chaque solide de Platon répond à la formule d'Euler<ref name=":0" />, démontrée en 1752 par le mathématicien suisse [[Leonhard Euler]], obtenue avec un nombre F de faces, A d'arêtes et S de sommets : F + S – A = 2
</div>
== Propriétés combinatoires ==
Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si
#Toutes ses faces sont des [[polygone régulier|polygones réguliers]] convexes [[Isométrie|isométriques]], c'est-à-dire superposables,
#Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes
#Le même nombre de faces se rencontrent à chacun de ses [[sommet (géométrie)|sommets]].
Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {''p'', ''q''} où
:''p'' = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et
:''q'' = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet).
Le symbole {''p'', ''q''}, appelé le [[symbole de Schläfli]], donne une description [[combinatoire]] du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.
{| border="1" cellpadding="7" style="margin:1em auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"
|-
!colspan=2 | Polyèdre
!Sommets
!Arêtes
!Faces
![[Symbole de Schläfli]]
!{{Lien|trad=Vertex configuration|Configuration de sommet|texte=Configuration<br />de sommet}}
|-
|[[Tétraèdre]]
|[[Image:Tetrahedron.svg|50px|Tétraèdre]]
|4||6||4||{3, 3}||3.3.3
|-
|[[Cube|Hexaèdre]]
|[[Image:Hexahedron.svg|50px|Hexaèdre (cube)]]
|8||12||6||{4, 3}||4.4.4
|-
|[[Octaèdre]]
|[[Image:Octahedron.svg|50px|Octaèdre]]
|6||12||8||{3, 4}||3.3.3.3
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]]
| [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|50px|Dodécaèdre]]
|20||30||12||{5, 3}||5.5.5
|-
|[[Icosaèdre]]
| [[Image:Icosahedron.svg|50px|Icosaèdre]]
|12||30||20||{3, 5}||3.3.3.3.3
|}
Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (''S''), des arêtes (''A'') et des faces (''F'') peuvent être déterminées à partir de ''p'' et ''q''. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :
:<math>pF = 2A = qS.\,</math>
L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la [[caractéristique d'Euler|formule d'Euler]] :
:<math>S - A + F = 2.\,</math>
Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en [[topologie algébrique]] il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la [[sphère]] est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement ''S'', ''A'' et ''F'' :
:<math>S = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad A = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.</math>
Note : échanger ''p'' et ''q'' intervertit ''F'' et ''S'' laissant ''A'' inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).
== Classification ==
C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.
=== Démonstration géométrique ===
L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les ''Éléments'' :
#Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet.
#À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à {{unité|360|°}} (sinon, le solide ne peut pas être convexe).
#Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de {{unité|360|°}}/3={{unité|120|°}}.
#Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de {{unité|120|°}} ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour :
#*les faces [[Triangle|triangulaires]] : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de {{unité|60|°}}, donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement.
#*les faces [[carré]]es : chaque sommet d'un carré a un angle de {{unité|90|°}}, donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube.
#*les faces [[Pentagone (figure)|pentagonales]] : chaque sommet a un angle de {{unité|108|°}} ; de nouveau, seulement un arrangement, de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.
=== Démonstration topologique ===
Une démonstration purement [[topologie|topologique]] peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'[[caractéristique d'Euler|observation d'Euler]] que <math>S - A + F = 2</math>, et le fait que <math>pF = 2A = qS</math>. En combinant ces équations, on obtient l'équation
:<math>\frac{2A}{q} - A + \frac{2A}{p} = 2.</math>
En divisant par <math>2 A</math> il vient
:<math>{1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over A}.</math>
Puisque <math>A</math> est strictement positif, nous devons avoir
:<math>\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}.</math>
En utilisant le fait que ''p'' et ''q'' doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {''p'', ''q''} :
:<math>\{3, 3\},\quad \{4, 3\},\quad \{3, 4\},\quad \{5, 3\},\quad \{3,5\}.</math>
== Propriétés géométriques ==
=== Angles ===
Il existe un nombre d'[[angle]]s associés avec chaque solide de Platon. L'[[angle dièdre]] est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {''p'', ''q''} est donné par la formule
:<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/p)}.</math>
Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de [[Fonction trigonométrique|tangente]] par
:<math>\tan{\theta\over 2} = \frac{\cos(\pi/q)}{\sin(\pi/h)}.</math>
La quantité ''h'' est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement,
autrement dit <math>4h = 15+[2(p+q)-11]^2</math>.
Le {{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et 2π. Le défaut, δ, à un sommet quelconque des sommets de Platons {''p'', ''q''} est
:<math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>
Par le [[théorème de Descartes]], ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est 4π).
L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un [[angle solide]]. L'angle solide, Ω, au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par
:<math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,</math>
Ceci provient de la formule de l'{{Lien|trad=Angle excess|Excès angulaire|texte=excès sphérique}} pour un [[Trigonométrie sphérique|polygone sphérique]] et le fait que la [[figure de sommet]] du polyèdre {''p'', ''q''} est un ''q''-gone régulier.
Les divers angles associés avec les solides de Platon sont donnés ci-dessous. Les valeurs numériques des angles solides sont données en [[stéradian]]s. La constante <math>\varphi = \frac{(1+\sqrt{5})}{2}\,</math> est le [[nombre d'or]].
{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre
![[Angle dièdre]]<br /><math>(\theta)\,</math>
!<math>\tan\frac{\theta}{2}</math>
!{{Lien|trad=Defect (geometry)|défaut angulaire}} <math>(\delta)\,</math>
!colspan = 3|[[Angle solide]] <math>(\Omega)\,</math>
|-
|[[Tétraèdre]] || {{unité|70.53|°}} || <math>1\over{\sqrt 2}</math> || <math>\pi\,</math>
|<math>2\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt 2}{5}\right)</math>
|<math>\approx 0,551286</math>
|-
|[[Cube]] || {{unité|90|°}} || <math>1\,</math> || <math>\pi\over 2</math>
|<math>\frac{\pi}{2}</math>
|<math>\approx 1,57080</math>
|-
|[[Octaèdre]] || {{unité|109.47|°}} || <math>\sqrt 2</math> || <math>{2\pi}\over 3</math>
|<math>4\sin^{-1}\left({1\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 1,35935</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || {{unité|116.56|°}} || <math>\varphi\,</math> || <math>\pi\over 5</math>
|<math>2\tan^{-1}\varphi^5</math>
|<math>\approx 2,96174</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || {{unité|138.19|°}} || <math>\varphi^2\,</math> || <math>\pi\over 3</math>
|<math>2\pi - 5\sin^{-1}\left({2\over 3}\right)</math>
|<math>\approx 2,63455</math>
|}
=== Rayons, aires et volumes ===
Une autre vertu de la régularité est que les solides de Platon possèdent tous trois sphères concentriques :
* la {{Lien|trad=Circumscribed sphere|sphère circonscrite}} qui passe à travers tous les sommets,
* la {{Lien|trad=Midsphere|sphère moyenne}} qui est tangente à chaque arête au milieu de celle-ci et
* la {{Lien|trad=Inscribed sphere|sphère inscrite}} qui est tangente à chaque face au centre de celle-ci.
Les [[rayon (géométrie)|rayons]] de ces sphères sont appelés les ''rayons circonscrits'', les ''rayons moyens'' et les ''rayons internes''. Ceux-ci sont les distances à partir du centre du polyèdre aux sommets, aux milieux des arêtes et aux centres de faces respectivement. Le rayon circonscrit ''R'' et le rayon interne ''r'' du solide {''p'', ''q''} avec une longueur d'arête ''a'' sont donnés par
:<math>R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}</math>
:<math>r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}</math>
où θ est l'angle dièdre. Le rayon moyen ρ est donné par
:<math>\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\pi/h)}</math>
où ''h'' est la quantité utilisée ci-dessus dans la définition de l'angle dièdre (''h'' = 4, 6, 6, 10 ou 10). Noter que le rapport du rayon circonscrit au rayons interne est symétrique dans ''p'' et ''q'' :
:<math>{R\over r} = \tan\frac{\pi}{p}\tan\frac{\pi}{q}.</math>
La [[superficie]] ''A'' d'un solide de Platon {''p'', ''q''} est facilement calculée, c'est l'aire d'un ''p''-gone régulier fois le nombre de faces ''F''. C’est-à-dire :
:<math>A = \left({a\over 2}\right)^2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.</math>
Le [[volume]] est calculé comme étant ''F'' fois le volume de la [[pyramide]] dont la base est un ''p''-gone régulier et dont la hauteur est le rayon interne ''r''. C’est-à-dire :
:<math>V = {1\over 3}rA.</math>
Le tableau suivant liste les divers rayons des solides de Platon ainsi que leurs aires ''A'' et leurs volumes ''V'', et deux taux de remplissage : les rapports entre ces volumes ''V'' et ceux, ''V{{ind|S}}'' = 4π''R''{{3}}/3, de la sphère circonscrite et ''V{{ind|s}}'' = 4π''r''{{3}}/3, de la sphère inscrite. La taille globale est fixée en prenant la longueur d'arête, ''a'', égale à 2.
{| border=1 cellpadding=6 style="border-collapse: collapse; margin: 1em auto; text-align: center;"
|-
!Polyèdre<br /><small>(''a'' = 2)</small>|| ''r'' || ρ || ''R'' || ''A'' || ''V''||''V''/''V{{ind|S}}''<ref>Pour des valeurs approchées plus précises, voir http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm#remplir.</ref>||''V{{ind|s}}''/''V''<ref>Pour les valeurs approchées de ''V''/''V{{ind|s}}'', voir {{en}} http://www.thomasbending.co.uk/puzzles/geometry/spheresolids.htm, Volume of the circumscribed solid.</ref>
|-
|[[Tétraèdre]] || <math>1\over {\sqrt 6}</math> || <math>1\over {\sqrt 2}</math> || <math>\sqrt{3\over 2}</math> || <math>4\sqrt 3</math> || <math>\frac{2\sqrt 2}{3}</math>||<math>\frac2{3\pi\sqrt3}\simeq0{,}12</math>||<math>\frac{\pi}{6\sqrt3}\simeq0{,}30</math>
|-
|[[Cube]] || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>\sqrt 3</math> || <math>24</math> || <math>8</math>||<math>\frac2{\pi\sqrt3}\simeq0{,}37</math>||<math>\frac{\pi}6\simeq0{,}52</math>
|-
|[[Octaèdre]] || <math>\sqrt{2\over 3}</math> || <math>1</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>8\sqrt 3</math> || <math>\frac{8\sqrt 2}3</math>||<math>\frac1{\pi}\simeq0{,}32</math>||<math>\frac{\pi}{3\sqrt 3}\simeq0{,}60</math>
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> || <math>\varphi^2</math> || <math>\sqrt 3\,\varphi</math> || <math>60\frac{\varphi}{\xi}</math> || <math>20\frac{\varphi^3}{\xi^2}</math>||<math>\frac{\varphi}{\pi}\sqrt{5\over3}\simeq0{,}66</math>||<math>\frac{\pi\varphi^{7/2}}{15\sqrt[4]5}\simeq0{,}75</math>
|-
|[[Icosaèdre]] || <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> || <math>\varphi</math> || <math>\xi\varphi</math> || <math>20\sqrt 3</math> || <math>\frac{20\varphi^2}3</math>||<math>\frac{\sqrt\varphi\sqrt[4]5}{\pi}\simeq0{,}61</math>||<math>\frac{\pi\varphi^4}{15\sqrt3}\simeq0{,}83</math>
|}
Les constantes φ et ξ ci-dessus sont données par
:<math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{1/4}\varphi^{-1/2}.</math>
Parmi les solides de Platon, le dodécaèdre ou l'icosaèdre peuvent être regardés comme la meilleure approximation de la sphère. L'icosaèdre a le plus grand nombre de faces, le plus grand angle dièdre, et son enveloppe est la plus proche de sa sphère inscrite. Le dodécaèdre, d'un autre côté, a le plus petit défaut angulaire, le plus grand angle solide au sommet et il remplit le plus sa sphère circonscrite.
{{boîte déroulante|titre=Descriptions et sections planes classiques {{passage inédit|date=septembre 2011}}|contenu=
{{Section à sourcer|date=septembre 2011}}
{{à désacadémiser|date=septembre 2011}}
Le nombre de ces sections-là est le nombre de sommets du solide. Les plans des vingt hexagones réguliers sont les plans des faces d’un [[dual]] du dodécaèdre : un icosaèdre de Platon. Ces vingt plans sont perpendiculaires aux dix droites passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre. Ils sont parallèles aux faces de l’un ou l’autre {{nobr|[[#canonicaldual|dual canonique]]}} du dodécaèdre. Les trois icosaèdres concentriques sont deux à deux homothétiques dans des homothéties de centre ''Ω.''
{{clearclr}}
;Icosaèdre
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un dodécaèdre sont les sommets d'un icosaèdre de Platon [[Concentricité|concentrique]] et, inversement, les centres des faces d'un icosaèdre de Platon sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentrique. Les sommets d'un icosaèdre de Platon peuvent être construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes (voir {{Commons-inline|Category:Dodecahedron and icosahedron|Dodécaèdre et icosaèdre}}).
{{clearclr}}
;Contre-exemples
{{Ancre|tetrahemihexa}}Parce que '''les faces d’un polyèdre peuvent se couper''', définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces [[tétrahémihexaèdre|d’un tétrahémihexaèdre,]] qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est [[#triangularbipyramid|ni régulier,]] ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre {{nobr|[[#i_1|de l’épure {{n°}}1]]}} par<span style="font-weight:bold;font-style:italic"> ABCHLU </span> par exemple, '''ce serait incorrect''' parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.
{{clear}}
}}
== Symétrie ==
=== Polyèdre dual ===
[[Image:Dual Cube-Octahedron.svg|thumb|Un dual cube-octaèdre.]]
Chaque polyèdre possède un [[polyèdre dual]] avec les faces et les sommets interchangés. Le dual de chaque solide de Platon est un autre solide de Platon, c’est-à-dire que nous pouvons arranger les cinq solides en paires duales.
*Le tétraèdre est auto-dual (i.e. son dual est un autre tétraèdre).
*Le cube et l'octaèdre forment une paire duale.
*Le dodécaèdre et l'icosaèdre forment une paire duale.
Si un polyèdre possède un symbole de Schläfli {''p'', ''q''}, alors son dual possède le symbole {''q'', ''p''}. En effet, chaque propriété combinatoire d'un solide de Platon peut être interprétée comme une autre propriété combinatoire du dual.
=== Groupes de symétrie ===
En mathématiques, le concept de [[symétrie]] est étudié avec la notion de [[groupe (mathématiques)|groupe mathématique]]. Chaque polyèdre possède un [[groupe de symétrie]] associé, qui est l'ensemble de toutes les transformations ([[isométrie affine|isométries euclidiennes]]) qui laissent le polyèdre invariant. L'[[ordre (théorie des groupes)|ordre]] du groupe de symétrie est le nombre de symétries du polyèdre. On fait souvent une distinction entre le ''groupe de symétrie total'', qui inclut les [[réflexion (mathématiques)|réflexions]], et le ''groupe de symétrie propre'', qui inclut seulement les [[Rotation affine|rotations]].
Les groupes de symétrie des solides de Platon sont connus sous le nom de {{Lien|trad=Polyhedral group|groupe polyédrique|texte=groupes polyédriques}} (qui sont une classe particulière des {{Lien|trad=Point groups in three dimensions|Groupe ponctuel en dimension trois|texte=groupes ponctuels en dimension trois}}). Le haut degré de symétrie des solides de Platon peut être interprété de différentes manières. Pour la plus importante, les sommets de chaque sommet sont tous équivalents sous l'[[Action de groupe (mathématiques)|action]] du groupe de symétrie, comme sont les arêtes et les faces. On dit que l'action du groupe de symétrie est [[Action de groupe (mathématiques)#Action transitive|transitive]] sur les sommets, les arêtes et les faces. En fait, c'est une autre manière de définir la régularité d'un polyèdre : un polyèdre est ''régulier'' si et seulement s'il est de sommet uniforme, d'arête uniforme et de face uniforme.
Il existe seulement trois groupes de symétrie associés avec les solides de Platon plutôt que cinq, puisque le groupe de symétrie d'un polyèdre quelconque coïncide avec celui de son dual. Ceci est vu facilement en examinant la construction du polyèdre dual. Toute symétrie de l'original doit être une symétrie du dual et vice-versa. Les trois groupes polyédriques sont :
* le [[Représentations du groupe symétrique#Représentation φ1|groupe tétraédrique]] ''T'',
* le [[Cube#Groupe des isométries|groupe octaédrique]] ''O'' (qui est aussi le groupe de symétrie du cube) et
* le [[Icosaèdre#Groupe de symétrie|groupe icosaédrique]] ''I'' (qui est aussi le groupe de symétrie du dodécaèdre).
Les ordres des groupes propres (rotations) sont 12, 24 et 60 respectivement — précisément, deux fois le nombre des arêtes dans le polyèdre respectif. Les ordres des groupes de symétrie totaux sont deux fois de nouveau les ordres précédents (24, 48 et 120). Voir (Coxeter 1973) pour une déduction de ces faits.
Le tableau suivant liste les diverses propriétés de symétrie des solides de Platon. Les groupes de symétrie listés sont les groupes totaux avec les sous-groupes de rotation donnés entre parenthèses (comme pour le nombre de symétries). La [[construction de Wythoff|construction kaléidoscopique de Wythoff]] est une méthode pour la construction des polyèdres directement à partir des groupes de symétrie. Nous listons la référence du symbole de Wythoff pour chaque solide de Platon.
{| border="1" cellpadding="7" style="margin:1em auto; text-align:center; border-collapse: collapse;"
|-
!Polyèdre
![[Symbole de Schläfli]]
![[Symbole de Wythoff]]
![[Polyèdre dual]]
!Symétries
![[Groupe de symétrie]]
|-
|[[Tétraèdre]]
|{3, 3} || <nowiki>3 | 2 3</nowiki> || Tétraèdre || 24 (12) || [[Groupe alterné#Groupe des rotations du tétraèdre|''T''<sub>d</sub>]] ([[Représentations du groupe symétrique|''T'']])
|-
|[[Cube]]
|{4, 3} || <nowiki>3 | 2 4</nowiki> || Octaèdre
| rowspan=2 | 48 (24) || rowspan=2 | [[Cube#Groupe des isométries|''O''<sub>h</sub> (''O'')]]
|-
|[[Octaèdre]]
|{3, 4} || <nowiki>4 | 2 3</nowiki> || Cube
|-
|[[Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]]
|{5, 3} || <nowiki>3 | 2 5</nowiki> || Icosaèdre
| rowspan=2 | 120 (60) || rowspan=2 | [[Groupe alterné#Groupe des rotations du dodécaèdre|''I''<sub>h</sub>]] ([[Icosaèdre#Groupe de symétrie|''I'']])
|-
|[[Icosaèdre]]
|{3, 5} || <nowiki>5 | 2 3</nowiki> || Dodécaèdre
|}
== En nature et en technologie ==
Le tétraèdre, le cube et l'octaèdre apparaissent tous naturellement dans les [[structure cristalline|structures cristallines]]. Ceux-ci n'épuisent nullement les nombres de formes possibles de cristaux. Néanmoins, ni l'icosaèdre régulier, ni le dodécaèdre régulier ne figurent parmi eux. Une de ces formes, appelée le [[Dodécaèdre|pyritoèdre]] (nommé en rapport avec le groupe des [[pyrite|minéraux]] avec lequel il est typique) a douze faces pentagonales, arrangées avec le même motif que les faces du dodécaèdre régulier. Néanmoins, les faces du pyritoèdre ne sont pas régulières, donc, le pyritoèdre n'est pas non plus régulier.
[[Image:Circogoniaicosahedra ekw.jpg|left|frame|Circogonia icosahedra, une espèce de [[radiolaire]], formée comme un icosaèdre régulier.]]
Au début du {{s-|XX|e}}, [[Ernst Haeckel]] décrivit<ref>{{de}} E. Haeckel, ''[http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html Kunstformen der Natur]'', 1904, rééd. {{en}} ''Art forms in nature'', Prestel USA, 1998 {{ISBN|3-7913-1990-6}}</ref> de nombreuses d'espèces de [[radiolaire]]s, certaines comportant des squelettes ayant la forme de divers polyèdres réguliers. Ses exemples incluent ''Circoporus octahedrus'', ''Circogonia icosahedra'', ''Lithocubus geometricus'' et ''Circorrhegma dodecahedra'', les formes de ces créatures étant évidentes d'après leurs noms.
Beaucoup de [[virus]], tel que le virus de l'[[herpès]], ont la forme d'un icosaèdre régulier. Les structures virales sont construites sur des sous-unités de [[protéine]]s identiques répétées et l'icosaèdre est la forme la plus facile à assembler en utilisant ces sous-unités. Un polyèdre régulier est utilisé car il peut être construit à partir d'une unité de protéine basique utilisée indéfiniment, ceci engendre un espace dans le [[génome]] viral.
En [[météorologie]] et en [[climatologie]], les modèles numériques globaux des flux atmosphériques sont d'un intérêt croissant. Ils emploient des grilles qui sont basées sur un icosaèdre (raffiné par [[triangulation]]) à la place de la grille [[longitude]]/[[latitude]] plus communément utilisée. Ceci a l'avantage d'avoir une résolution spatiale également distribuée sans [[singularité]]s (i.e. les [[Pôle géographique|pôles géographiques]]) aux dépens d'une certaine difficulté numérique plus grande.
La géométrie des {{Lien|trad=Space frame|Armature d'espace|texte=armatures d'espace}} est souvent basée sur les solides de Platon. Dans le système MERO, les solides de Platon sont utilisés pour la convention de nomenclature des diverses configurations d'armatures d'espace. Par exemple ½O+T fait référence à une configuration faite d'un demi-octaèdre et un tétraèdre.
Les solides de Platon sont souvent utilisés pour fabriquer des [[dé]]s. Les dés à 6 faces sont très communs, mais les autres nombres sont communément utilisés dans les [[jeu de rôle|jeux de rôle]]. De tels dés sont souvent appelés d''n'' où ''n'' est le nombre de faces (d8, d20, etc.);
[[Image:BluePlatonicDice.jpg|thumb|upright=2.2|center|Les [[dé]]s polyédriques sont souvent utilisés dans les [[jeu de rôle|jeux de rôle]]. On leur ajoute couramment le [[trapézoèdre pentagonal]], qui n'est pas un solide de Platon.]]
Ces formes apparaissent fréquemment dans d'autres jeux ou d'autres puzzles. Des puzzles similaires aux [[Rubik's Cube]] ont vu le jour dans toutes ces formes — voir {{Lien|trad=Combination puzzle|Puzzle combinatoire}}.
== Polyèdres reliés et polytopes ==
=== Polyèdres uniformes ===
Il existe quatre polyèdres réguliers qui ne sont pas convexes, appelés les [[solide de Kepler-Poinsot|solides de Kepler-Poinsot]]. Ceux-ci ont tous la [[Icosaèdre#Groupe de symétrie|symétrie icosaédrique]] et peuvent être obtenus par [[stellation]]s du dodécaèdre et de l'icosaèdre.
{| style="float: right; margin-left: 1em; text-align: center; border-collapse: collapse; border: 1pt solid #aaa;"
|-
|style="padding: 3pt;"|[[Image:Cuboctahedron.svg|80px]]<br />[[Cuboctaèdre]]
|-
|style="padding: 3pt;"|[[Image:Icosidodecahedron.jpg|80px]]<br />[[Icosidodécaèdre]]
|}
Les prochains polyèdres convexes les plus réguliers après les solides de Platon sont le [[cuboctaèdre]], qui est une {{Lien|trad=Rectification (geometry)|Rectification (géométrie)|texte=rectification}} du cube et de l'octaèdre, et l'[[icosidodécaèdre]], qui est une rectification du dodécaèdre et de l'icosaèdre (la rectification du polyèdre auto-dual, le tétraèdre est un octaèdre régulier). Ils sont tous les deux ''quasi-réguliers'' ce qui signifie qu'ils sont de sommet et d'arête uniformes et qu'ils ont des faces régulières, mais les faces ne sont pas toutes isométriques (provenant de deux classes différentes). Ils forment deux des treize [[solide d'Archimède|solides d'Archimède]], qui sont des [[polyèdre uniforme|polyèdres uniformes]] convexes avec une symétrie polyédrique.
Les polyèdres uniformes forment une classe beaucoup plus grande de polyèdres. Ces solides sont de sommets uniformes et on un ou plusieurs types de [[polygone régulier|polygones réguliers]] (convexes ou étoilés) pour faces. Ceux-ci incluent tous les polyèdres mentionnés ci-dessus avec l'ensemble infini des [[prisme (solide)|prismes]], l'ensemble infini des [[antiprisme]]s ainsi que 53 autres formes non-convexes.
Les [[solide de Johnson|solides de Johnson]] sont des polyèdres convexes qui ont des faces régulières mais qui ne sont pas uniformes.
=== Pavages ===
Les trois [[Pavage par des polygones réguliers|pavages réguliers]] du plan sont fortement reliés aux solides de Platon. En effet, on peut regarder les solides de Platon comme les cinq pavages réguliers de la [[sphère]]. Ceci est effectué en projetant chaque solide sur une sphère concentrique. Les faces projettent sur des [[Trigonométrie sphérique|polygones sphériques]] réguliers qui couvrent exactement la sphère. On peut montrer que chaque pavage régulier de la sphère est caractérisé par une paire d'entiers {''p'', ''q''} avec 1/''p'' + 1/''q'' > 1/2. De même, un pavage régulier du plan est caractérisé par la condition 1/''p'' + 1/''q'' = 1/2. Il existe trois possibilités :
*{4, 4} qui est le [[pavage carré]],
*{3, 6} qui est le [[pavage triangulaire]] et
*{6, 3} qui est le [[pavage hexagonal]] (dual du pavage triangulaire).
D'une manière similaire, on peut considérer les pavages réguliers sur le [[Géométrie hyperbolique|plan hyperbolique]]. Ils sont caractérisés par la condition 1/''p'' + 1/''q'' < 1/2. Il existe un nombre infini de tels pavages.
=== Dimensions plus élevées ===
Lorsqu'il y a plus de trois dimensions, les polyèdres se généralisent aux [[polytope]]s. Dans le milieu du {{s-|XIX|e}}, le [[mathématicien]] [[suisse]] [[Ludwig Schläfli]] découvrit les analogues quadridimensionnels des solides de Platon, appelés les [[4-polytope régulier convexe|4-polytopes réguliers convexes]]. Il existe exactement six de ces figures ; cinq sont analogues aux solides de Platon, tandis que le sixième, le [[4-polytope régulier convexe#Icositétrachore|24-cellules]], n'a pas d'analogue en dimension inférieure.
Dans les dimensions plus élevées que quatre, il existe seulement trois polytopes réguliers convexes : le [[simplexe]], l’[[hypercube]] et l’[[hyperoctaèdre]]. En trois dimensions, ceux-ci coïncident avec le tétraèdre, le cube et l’octaèdre.
== Notes et références ==
<references/>
* [[Platon]], ''Timée'' (vers 358 av. J.-C.), 55e-56c. Trad. L. Brisson, ''Timée/Critias'', Garnier-Flammarion, {{unité|3|°}} éd. revue 1996
* [[Euclide]], ''Éléments'' (vers 300 av. J.-C.), livre XIII. Euclide, ''Les Éléments'', volume IV, Livre XI-XIII, Géométrie des solides ; trad. du texte par Heiberg et commentaires par Bernard Vitrac. Paris : Presses universitaires de France, 2001. (Bibliothèque d'histoire des sciences). 482 p. {{ISBN|2-13-051927-X}}
{{Traduction/Référence|en|Platonic solid|109599455}}
== Voir aussi ==
=== Articles connexes ===
* [[Polyèdre régulier]]
* [[Polytope régulier]]
* {{Lien|trad=List of regular polytopes|Liste des polytopes réguliers}}
* [[Livre XIII des Éléments d'Euclide]]
* [[Hydrocarbure de Platon]] - les solides de Platon moléculaires
*[[Patron (géométrie)]]
=== Liens externes ===
* {{en}} [http://www.platonicsolids.info platonicsolids.info]
* {{en}} [http://ibiblio.org/e-notes/3Dapp/Convex.htm Interactive polyhedra] en Java
* {{en}} [http://agutie.homestead.com/files/solid/platonic_solid_1.htm Platonic Solids] (animation interactive) sur agutie.homestead.com
* {{en}} [http://www.korthalsaltes.com/platonic_solids_pictures.html Pictures of Platonic Solids] (patrons en papier)
{{Palette|Solides géométriques}}
{{Portail|géométrie}}
[[Catégorie:Polyèdre]]
[[Catégorie:Solide de Platon|*]]
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