« Solide de Platon » : différence entre les versions

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(wikification)
{{Leçon du jour
| idfaculté = mathématiques
| département = Géométrie
| niveau = 15
| autres projets = oui
| w = Solide de Platon
}}
 
Un '''solide de Platon''' est un polyèdre [[#triangularbipyramid|régulier]] convexe. Il existe seulement cinq solides de Platon.
 
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| [[w:Tétraèdre|Tétraèdre]] || [[w:Hexaèdre|Hexaèdre]]<br />ou [[w:Cube|Cube]] || [[w:Octaèdre|Octaèdre]] || [[w:Dodécaèdre régulier|Dodécaèdre]] || [[w:Icosaèdre|Icosaèdre]]
|- style="vertical-align: bottom;"
|width=120| [[Image:Tetrahedron.gif|Video|120px|Tétraèdre]]
|width=120|[[Image:Icosahedron.gif|Video|120px|Icosaèdre]]
|}
{{Clr}}
 
==Descriptions et sections planes classiques==
 
{{passage inédit|date=septembre 2011}}
{{Section à sourcer|date=septembre 2011}}
{{à désacadémiser|date=septembre 2011}}
La première rubrique n’expose pas seulement des propriétés de l’octaèdre et du cube. Elle compare certaines [[#sctions|sections planes]] des deux solides à des sections de dodécaèdre. Elle prépare à l’étude des autres solides en expliquant des concepts utiles, par exemple {{nobr|[[#axedef|la notion d’axe]]}} de certains objets, ou la [[#dualdef|notion de dual]] d’un solide. Grâce à la rubrique des [[#Contre-exemples|contre-exemples,]] l’emploi des adjectifs « régulier » et « convexe » est plus compréhensible.
 
;Octaèdre et cube
Nous interprétons [[#i_1|l’image]] quand nous regardons {{nobr|l’octaèdre de dessus.}} L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. [[w:Perspective (représentation)|La perspective]] donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ''ABC'' et ''HLU'' sont superposables {{nobr|[[isométrie|– isométriques –.&nbsp;]]}} Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet ''A.'' L’arête cachée [''LU ''] est en pointillé, ainsi le veut une règle {{nobr|[[w:géométrie descriptive|de géométrie descriptive.]]}}
 
En élévation, les quatre sommets du contour représentent les six sommets du solide, un simple point représente l’arête [''LU ''] ou [''BC '']. Un même triangle est l’image de deux faces, l’une devant le solide, l’autre derrière. Une arête située derrière n’est pas tracée en pointillé, parce que son image est confondue avec le trait plein d’une autre arête, devant le solide.
 
Sans le mot « [[w:Ensemble convexe|convexe]] », cette phrase [[#tetrahemihexa|serait fausse :]] un polyèdre convexe est un octaèdre régulier si et seulement si ses arêtes sont les côtés de trois carrés, dont chaque paire a une diagonale commune. L’épure montre les carrés en trois couleurs différentes. Par exemple, [''LB ''] est la diagonale commune des carrés vert et bleu ''LUBC'' et ''LABH.'' N’importe quel carré a des diagonales perpendiculaires, donc les diagonales des trois carrés de l’épure sont perpendiculaires deux à deux.
 
Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 [[#i_2|et 2.]]
'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de rotation, un quart de tour autour de (''CS '') ou un tiers de tour autour de (''TS '') transforme l’octaèdre en lui-même, et conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de rotation.]]
 
Une '''diagonale d’un polyèdre''' est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère ''circonscrite'' – la sphère qui passe par tous ses sommets –. {{nobr|Le centre ''S''}} de la sphère est le ''centre'' commun des carrés. En effet, on appelle ''centre'' d’un rectangle ou d’un {{nobr|[[w:polygone régulier|polygone régulier]]}} le centre de son cercle [[w:Cercle circonscrit|circonscrit.]] N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le ''centre du solide.''
 
L’information sur ''T'' serait très partielle si nous regardions seulement l’épure {{n°}}2, ou seulement la vue en élévation {{n°}}1. Le point ''T'' est le centre de ''ABC'' : le centre de son cercle circonscrit.
 
Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un [[w:grand cercle|grand cercle]] de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. [[#i_4|L’épure {{n°|4}}]] montre en bleu deux grands cercles verticaux.
 
Cette situation sera fréquente dans les figures géométriques, un point de l’espace sera à égale distance des sommets d’une face ou d’une section plane d’un solide. Il sera le centre d’une sphère passant par tous les sommets de la face ou de la section polygonale.
 
{{Ancre|axedef}}Étant donné un cercle, ou un rectangle, ou un polygone régulier, son '''axe''' est la droite perpendiculaire au plan de l’objet au centre de l’objet. [[w:Ensemble|C’est l’ensemble]] des points à égale distance des points du cercle, ou des sommets du polygone. C’est aussi l’axe de certaines [[w:Rotation dans l'espace|rotations]] qui transforment l’objet en lui-même.
 
Par exemple, la face supérieure de l’octaèdre est le triangle horizontal ''ABC'', dont ''l’axe'' (''TS '') est vertical. On obtient le même triangle équilatéral en faisant tourner ''ABC'' d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre autour de (''TS '').
 
Si une [[w:pyramide|pyramide]] a les sommets d’un polygone régulier, plus un dernier sommet sur l’axe du polygone, alors cette pyramide est dite ''régulière.'' Si une rotation autour de l’axe du polygone régulier laisse inchangé le polygone, cette rotation conserve aussi la pyramide. On dit que l’axe du polygone est un ''axe'' de la pyramide. Nous verrons un solide de Platon posséder plusieurs axes.
 
Quelle que soit l’épure, chaque vue est une [[w:perspective cavalière|perspective cavalière]]. C’est l’image plane d’une figure de l’espace par une [[w:projection orthogonale|projection orthogonale]] sur un plan. Pour la vue de dessus {{n°}}1 ou pour la perspective {{n°|2,}} le plan de la projection est n’importe quel plan horizontal. Dans les deux perspectives, la ''direction'' et le ''sens'' de la projection sont les mêmes : la direction verticale de (''TS '') et le sens de ''T'' vers ''S.'' Les points distincts ''T'' et ''S'' sont représentés par un même point quand l’octaèdre est vu à la verticale. Il n’y aura pas de vue de dessous.
 
Le centre d’un rectangle est son centre [[w:Symétrie (transformation géométrique)#Symétrie centrale (par rapport à un point)|de symétrie.]] Chaque carré de centre ''S'' est conservé par la symétrie de centre ''S.'' Cette symétrie transforme donc l’octaèdre en lui-même. Deux arêtes, deux faces ou deux sommets d’un octaèdre sont dits ''opposés'' s’ils sont symétriques l’un de l’autre par rapport au centre de l’octaèdre.
 
Par exemple, la symétrie de centre ''S'' transforme le centre d’une face en celui de la face opposée, elle transforme le centre ''V'' de la face inférieure en ''T'', centre de la supérieure. Autrement dit, ''S'' est le milieu de [''VT ''].
Quand l’octaèdre est vu à la verticale, l’image de ''S'' est à la fois le centre des deux triangles équilatéraux, images des deux faces horizontales, et le centre de la symétrie qui transforme un triangle équilatéral en l’autre. Alors le contour du solide vu à la verticale est un hexagone régulier.
 
En élévation, le contour a des diagonales perpendiculaires en leur milieu, parce que ''S'' est le milieu de [''AH ''] et de [''LB ''] dans l’espace, et que la projection ne déforme pas l’angle droit formé par l’axe du carré vert et le plan du carré. Ce contour-là du solide est un [[w:losange|losange]].
 
Un plan contenant deux des diagonales d’un polyèdre est un '''plan diagonal''' du polyèdre. Par exemple, le carré vert est une section diagonale de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un octaèdre en est un plan [[w:Symétrie (transformation géométrique)#Sym.C3.A9trie orthogonale par rapport .C3.A0 un plan|de symétrie.]] Il partage le solide en deux pyramides régulières carrées, symétriques l’une de l’autre par rapport au plan de leur base commune. L’axe commun aux deux pyramides est la diagonale de l’octaèdre perpendiculaire au plan de leur base commune. Par exemple, {{nobr|''A'' et ''H''}} sont symétriques l’un de l’autre par rapport au plan du carré vert, {{nobr|(''AH '') est l’axe}} commun aux pyramides ''ALUBC'' et ''HLUBC.''
 
Un tiers de tour autour de (''VT '') dans un sens ou dans l’autre transforme chaque face horizontale en elle-même, donc transforme le solide en lui-même. Une telle rotation conserve aussi toute section horizontale du solide. {{nobr|Dans l’épure 2,}} des plans qui ne passent pas par ''S'' coupent le solide. Tracé en six traits ocre dont trois en pointillé, l’hexagone est horizontal.
 
N’importe quelle section horizontale de l’octaèdre a six côtés, qui sont parallèles deux à deux, parce que tous deux parallèles à deux arêtes opposées horizontales. {{nobr|[[w:Plan médiateur|Le plan médiateur]]}} commun à deux arêtes horizontales est un plan de symétrie du solide, et un plan de symétrie de la section. En un tiers de tour autour de (''VT ''), un côté de la section en devient un autre qui lui est égal, et dont le plan médiateur est un autre plan de symétrie. Conservée par un tiers de tour ou un autre autour de (''VT ''), la section hexagonale est inscriptible dans un cercle horizontal. Ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Ces triangles équilatéraux ne sont pas tracés dans l’épure, ni leur cercle circonscrit.
 
{{Ancre|sctions}}Rangeons dans '''un ensemble ℱ''' tous les hexagones convexes qui ont les sommets de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. La forme d’un élément de ℱ est déterminée par le rapport des longueurs de deux de ses côtés adjacents. On obtient un hexagone de ℱ en coupant par un plan approprié un octaèdre, [[#dodhexag|un dodécaèdre]] ou [[#cubehexag|un cube.]] La forme de l’hexagone varie avec la distance du plan de section au centre du solide. Un solide d’une des trois sortes est symétrique par rapport à son centre, et si deux sections sont symétriques l’une de l’autre par rapport au centre du solide, alors elles sont isométriques. Étant donnés un hexagone de ℱ et un solide d’une des trois sortes, au moins une section du solide est [[Similitude (géométrie)|semblable à]] l’hexagone donné.
 
Les épures [[#i_1|{{numéro}}1]] et [[#i_3|{{numéro}}3]] exhibent le même hexagone blanc. Son plan horizontal passe par le centre ''S'' du solide. L’intersection de ce plan avec un carré diagonal est un [[w:Symétrie (transformation géométrique)#Symétrie axiale ou orthogonale par rapport à une droite|axe de symétrie]] du carré, parallèle à ses côtés horizontaux, et passant par les milieux de ses côtés obliques. Ces deux milieux sont symétriques l’un de l’autre par rapport à ''S'', quel que soit le carré diagonal considéré. Alors l’hexagone blanc est symétrique par rapport à ''S.''
 
L’hexagone blanc horizontal appartient à l’ensemble ℱ, ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Sa symétrie par rapport à ''S'' en fait un hexagone régulier.
Autour d’une diagonale de l’octaèdre, un demi-tour équivaut à deux quarts de tour successifs dans le même sens. Une rotation de {{unité|180|°}} {{nobr|[[#correctword|est une symétrie]]}} par rapport à l’axe du demi-tour. Les diagonales de l’octaèdre en sont trois axes de symétrie.
 
Dans l’épure 3, le carré vert est le contour du solide. Sur l’axe du carré vert, ''H'' est derrière le solide, son image est confondue avec celles de ''A'' et ''S.'' Les seuls pointillés du dessin représentent les trois côtés consécutifs de l’hexagone blanc qui sont derrière le solide. La perspective représente deux faces par un même triangle, et les centres des deux faces au centre d’une même cible. Peints sur une face triangulaire, les deux cercles orangés d’une cible sont déformés par la perspective. Le centre d’un triangle équilatéral en est [[w:Triangle#Hauteurs et orthocentre|aussi l’orthocentre.]] La projection déforme toutes les faces, et les symboles d’angles droits aux pieds des douze hauteurs.
 
À partir du centre d’une face, on obtient les centres de trois autres faces par trois quarts de tour successifs dans le même sens autour de (''AS ''). Les centres des cibles représentent les sommets de deux carrés d’axe (''AS ''), dans deux plans parallèles distincts. En tournant autour d’une autre diagonale de l’octaèdre, des quarts de tour auront le même effet. Par conséquent, les centres des faces triangulaires sont les sommets d’un polyèdre de six faces carrées. Ce polyèdre est un cube contenu [[#i_4|dans l’octaèdre.]]
'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]
 
Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers {{nobr|[[w:Médiane (géométrie)|de chaque médiane]]}} d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. [[#i_3|L’épure 3]] permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre ''K'' de ''ALU'' est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.
 
<span id="dualdef"
À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual {{nobr|de même centre ? }} L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, [[#i_8|épure 8.]]
 
{{Ancre|canonicaldual}}Deux solides de Platon sont des duaux ''[[w:Canonique (mathématiques)|canoniques]]'' l’un de l’autre quand '''les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre'''. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.
 
L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre ''S. '' Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre {{nobr|du cube : }} son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (''AH '') sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec ''S'' représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [''VT ''] dans le plan vertical (''ATH ''). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.
Les points ''T'', ''S'', ''R'' et ''V'' appartiennent à la hauteur verticale (''TS '') de ''TKMN. '' Les quatre lettres sont absentes de la vue de dessus {{n°}}9, elles encombreraient la zone centrale de [[#whyregular|l’hexagone régulier,]] qui est l’image du cube vu à la verticale. Dans cette vue une rotation d’un tiers de tour autour de (''TS '') fait tourner les couleurs des arêtes du tétraèdre, et conserve le tétraèdre.
 
{{Ancre|correctword}}Cette rotation de {{unité|120|°}} appartient à ce qu'on appelle couramment le [[w:Groupe de symétrie|groupe des symétries]] du solide (le [[Groupe (mathématiques)|groupe]] des [[w:Isométrie affine|isométries]] qui le [[w:Invariant|conservent globalement]]), mais ce n’est '''pas une [[w:Symétrie (transformation géométrique)|symétrie]]'''.
 
Le plan vertical contenant (''Sz '') est le plan bissecteur de l’angle droit formé par &#91;''Sx '') et &#91;''Sy ''). C’est le plan d’une symétrie du groupe [[w:Groupe diédral|des isométries]] du cube, ou du groupe des isométries du tétraèdre.
 
L’angle entre deux faces d’un tétraèdre régulier {{nobr|mesure 2 ''γ. ''}} La vue en élévation {{n°}}9 montre en vraie grandeur l’inclinaison ''γ '' de (''Sz '') sur un plan horizontal. C’est aussi l’inclinaison de (''Sx '') ou (''Sy ''), puisque la figure est conservée par une rotation de {{unité|120|° }} autour de la verticale (''TS ''), dans un sens ou dans l’autre.
 
À cause de la même inclinaison ''γ '' des trois axes du repère, le coefficient de proportionnalité cos ''γ '' est le même entre les longueurs des segments parallèles à un axe du repère, et les longueurs de leurs projections sur un plan horizontal. Dans l’épure {{n°}}7 ou {{n°|9,}} la vue de dessus est une perspective [[w:perspective isométrique|isométrique.]] La valeur de ''γ'' peut se déduire de l’égalité :<br />cos( 2 ''γ '') = <math>\tfrac{1}{3}.</math>
 
Le point de concours ''S'' des quatre hauteurs de ''TKMN'' est [[Barycentre (géométrie affine)|l’isobarycentre]] des quatre sommets du tétraèdre. Le centre de n’importe quel solide de Platon est l’isobarycentre de ses sommets. Les quatre solides de l’épure {{n°}}8 partagent l’isobarycentre de leurs sommets.
 
Si on prend les demi-droites précédentes &#91;''Sx ''), &#91;''Sy ''), et &#91;''Sz '') comme axes d’un repère orthonormé, dont l’unité de longueur est la distance de ''S '' à une face du cube, ou à une arête du tétraèdre, les trois coordonnées de ''T'' sont alors égales à 1. Les sommets de ''VEFG'' n’ont pas leurs coordonnées inscrites dans l’épure, mais la symétrie de centre ''S '' transforme simplement les coordonnées d’un point en leurs opposées. Elle transforme par exemple {{nobr|K ( +1 ; –1 ; –1 ) }} {{nobr|en E ( –1 ; +1 ; +1 ).}}
 
;Icosaèdre
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un dodécaèdre sont les sommets d'un icosaèdre de Platon [[w:Concentricité|concentrique]] et, inversement, les centres des faces d'un icosaèdre de Platon sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentrique. Les sommets d'un icosaèdre de Platon peuvent être construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes (voir {{Commons-inline|Category:Dodecahedron and icosahedron|Dodécaèdre et icosaèdre}}).
{{clr}}
 
;Contre-exemples
{{Ancre|triangularbipyramid}}Pour qu’un polyèdre soit '''régulier''', il faut que toutes ses faces soient des polygones [[w:Polygone régulier|réguliers]] isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « [[w:diamant triangulaire|diamant triangulaire]] », cet hexaèdre [[w:Ensemble convexe|est convexe.]] Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, {{nobr|soit à quatre.}} Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.
 
{{Ancre|tetrahemihexa}}Parce que '''les faces d’un polyèdre peuvent se couper''', définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces [[tétrahémihexaèdre|d’un tétrahémihexaèdre,]] qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est [[#triangularbipyramid|ni régulier,]] ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre {{nobr|[[#i_1|de l’épure {{n°}}1]]}} par<span style="font-weight:bold;font-style:italic"> ABCHLU </span> par exemple, '''ce serait incorrect''' parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.
 
{{Ancre|tetrahemihexa}}Parce que '''les faces d’un polyèdre peuvent se couper''', définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces [[w:tétrahémihexaèdre|d’un tétrahémihexaèdre,]] qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est [[#triangularbipyramid|ni régulier,]] ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre {{nobr|[[#i_1|de l’épure {{n°}}1]]}} par<span style="font-weight:bold;font-style:italic"> ABCHLU </span> par exemple, '''ce serait incorrect''' parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.
[[Catégorie:Géométrie dans l'espace]]