« Solide de Platon » : différence entre les versions
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Ligne 27 :
;Octaèdre et cube
Nous interprétons [[#i_1|l’image]] quand nous regardons {{nobr|l’octaèdre de dessus.}} L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. [[w:Perspective (représentation)|La perspective]] donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ''ABC'' et ''HLU'' sont superposables {{nobr|[[w:isométrie|– isométriques –. ]]}} Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet ''A.'' L’arête cachée [''LU ''] est en pointillé, ainsi le veut une règle {{nobr|[[w:géométrie descriptive|de géométrie descriptive.]]}}
En élévation, les quatre sommets du contour représentent les six sommets du solide, un simple point représente l’arête [''LU ''] ou [''BC '']. Un même triangle est l’image de deux faces, l’une devant le solide, l’autre derrière. Une arête située derrière n’est pas tracée en pointillé, parce que son image est confondue avec le trait plein d’une autre arête, devant le solide.
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L’hexagone blanc horizontal appartient à l’ensemble ℱ, ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Sa symétrie par rapport à ''S'' en fait un hexagone régulier.
Un plan passant par le centre d’un polyèdre régulier est appelé un '''plan équatorial''' du polyèdre. L’hexagone blanc et les trois sections diagonales carrées sont quatre sections équatoriales de l’octaèdre, qui sont quatre polygones réguliers. Parmi les sections parallèles à une face de l’octaèdre, seules les sections équatoriales sont des polygones réguliers. Un côté quelconque de ces quatre hexagones joint les milieux de deux côtés d’une face. Parallèle au troisième côté, {{nobr|[[w:Théorème des milieux|il mesure ]] <math>\tfrac{a}{2}</math> }} la moitié d’une arête.
Autour de quatre axes différents de l’octaèdre, communs chacun à deux faces opposées, des tiers de tour conservent un octaèdre régulier. Une rotation d’un [[#i_2|quart de tour]] autour de (''CS '') dans un sens ou dans l’autre conserve n’importe quel point de l’axe de rotation, et conserve aussi la section diagonale bleue, la grande section carrée bleue. Un tel quart de tour conserve l’octaèdre, et laisse inchangé le petit carré bleu.
Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans [[#i_2|l’épure 2,]] l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une [[w:homothétie|homothétie]] {{nobr|de centre ''C.'' }} Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (''CS ''), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_3"> </div>
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La vue en élévation numéro 1 ou 4 n’altère pas la longueur ''AH'' d’une diagonale de l’octaèdre. Quand les sommets du cube sont les centres des faces de l’octaèdre, une arête du cube mesure le tiers d’une diagonale {{nobr|de l’octaèdre :}}<br />''VK'' = <math>\tfrac{AH}{3}</math> = <math>\tfrac{a\,\sqrt{2}}{3}.</math>
Certains plans de symétrie d’un cube ou d’un octaèdre régulier contiennent le centre du polyèdre et deux arêtes opposées, ce sont des plans diagonaux du cube ou de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un cube le partage en deux [[w:prismes|prismes]] droits triangulaires. Par exemple, le plan vertical (''ATH '') est un plan de symétrie du cube et de l’octaèdre. En vraie grandeur {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} ''VKTE'' est en même temps le contour du cube et sa section par (''ATH ''). L’axe de ''VKTE'' est un axe de symétrie de l’octaèdre et du cube. Il passe par les milieux de deux arêtes opposées du cube, et par les milieux de [''BU ''] et [''LC ''], deux arêtes opposées de l’octaèdre.
[[#i_4|Dans l’épure 4,]] le contour du cube est semblable [[w:format de papier|au format A4]] ou à un format de papier semblable, {{nobr|A3 par exemple.}} Les images rectangulaires des faces du cube sont des réductions de ''VKTE'' {{nobr|à l’échelle <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}</math> }}, elles représentent chacune deux faces du cube.
<div id="i_6" style="float:right;width:300px;height:90px;border:black dashed;margin:3em;padding:3em">Une '''épure {{numéro}}5''' est prévue, où se couperont des sections diagonales d’un cube.</div>
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'''Épure {{n°}}10.'''<br />Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.]]
Dans toute la rubrique, ''a'' sera la longueur des trente arêtes du solide, et ''d'' celle des soixante diagonales des douze faces. Par exemple dans l’épure {{n°|10, }} {{nobr|1=''UV'' = ''a. ''}} {{nobr|1=Et ''WS '' = φ ''a '' = ''d'', }} où la lettre φ désigne le {{nobr|[[w:nombre d'or|nombre d'or]] :}}
:{{Ancre|goldenratio}}<math>\varphi\, =\, 2\, \cos\,(\,36^\circ\,).</math>
:<br /><math>\varphi\, =\, \tfrac{1}{2\cos\,(\,72^\circ\,)} =\, \tfrac{1\,+\,\sqrt{5}}{2}.</math>
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;Icosaèdre
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un dodécaèdre sont les sommets d'un icosaèdre de Platon [[w:Concentricité|concentrique]] et, inversement, les centres des faces d'un icosaèdre de Platon sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentrique. Les sommets d'un icosaèdre de Platon peuvent être construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes (voir
{{clr}}
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