« Solide de Platon » : différence entre les versions

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N’importe quelle section horizontale de l’octaèdre a six côtés, qui sont parallèles deux à deux, parce que tous deux parallèles à deux arêtes opposées horizontales. {{nobr|[[w:Plan médiateur|Le plan médiateur]]}} commun à deux arêtes horizontales est un plan de symétrie du solide, et un plan de symétrie de la section. En un tiers de tour autour de (''VT ''), un côté de la section en devient un autre qui lui est égal, et dont le plan médiateur est un autre plan de symétrie. Conservée par un tiers de tour ou un autre autour de (''VT ''), la section hexagonale est inscriptible dans un cercle horizontal. Ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Ces triangles équilatéraux ne sont pas tracés dans l’épure, ni leur cercle circonscrit.
 
{{Ancre|sctions}}Rangeons dans '''un ensemble ℱ''' tous les hexagones convexes qui ont les sommets de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. La forme d’un élément de ℱ est déterminée par le rapport des longueurs de deux de ses côtés adjacents. On obtient un hexagone de ℱ en coupant par un plan approprié un octaèdre, [[#dodhexag|un dodécaèdre]] ou [[#cubehexag|un cube.]] La forme de l’hexagone varie avec la distance du plan de section au centre du solide. Un solide d’une des trois sortes est symétrique par rapport à son centre, et si deux sections sont symétriques l’une de l’autre par rapport au centre du solide, alors elles sont isométriques. Étant donnés un hexagone de ℱ et un solide d’une des trois sortes, au moins une section du solide est [[w:Similitude (géométrie)|semblable à]] l’hexagone donné.
 
Les épures [[#i_1|{{numéro}}1]] et [[#i_3|{{numéro}}3]] exhibent le même hexagone blanc. Son plan horizontal passe par le centre ''S'' du solide. L’intersection de ce plan avec un carré diagonal est un [[w:Symétrie (transformation géométrique)#Symétrie axiale ou orthogonale par rapport à une droite|axe de symétrie]] du carré, parallèle à ses côtés horizontaux, et passant par les milieux de ses côtés obliques. Ces deux milieux sont symétriques l’un de l’autre par rapport à ''S'', quel que soit le carré diagonal considéré. Alors l’hexagone blanc est symétrique par rapport à ''S.''
L’hexagone mauve a sa vraie forme et sa vraie grandeur. Il représente deux sections symétriques l’une de l’autre par rapport à ''Ω. '' L’une est entièrement devant le solide, elle a un sommet commun avec l’hexagone vert. L’hexagone régulier vert a tous ses côtés rapetissés par la perspective. D’axe (''LB '') comme l’hexagone vert, le symétrique de l’hexagone vert par rapport à ''Ω'' n’est pas dessiné. Il a un sommet derrière le solide représenté comme un sommet du mauve, à l’intersection des images d’une arête en pointillé et de [''AM ''] en trait plein.
 
Le nombre de ces sections-là est le nombre de sommets du solide. Les plans des vingt hexagones réguliers sont les plans des faces d’un [[w:dual|dual]] du dodécaèdre : un icosaèdre de Platon. Ces vingt plans sont perpendiculaires aux dix droites passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre. Ils sont parallèles aux faces de l’un ou l’autre {{nobr|[[#canonicaldual|dual canonique]]}} du dodécaèdre. Les trois icosaèdres concentriques sont deux à deux homothétiques dans des homothéties de centre ''Ω.''
{{clr}}