« Solide de Platon » : différence entre les versions

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catégorisation
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{{Leçon du jour
| idfaculté = mathématiques
| département = Géométrie
| niveau = 15
| autres projets = oui
| w = Solide de Platon
}}
 
UnIl '''solideexiste decinq Platon'''polyèdres estréguliers unet polyèdreconvexes, [[#triangularbipyramid|régulier]]aussi convexe. Il existeappelés seulementles cinq solides de Platon.
 
= Formule d'Euler et symbole de Schläfli =
 
{| border=1 style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse; border-color: #aaa;"
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|}
{{Clr}}
==Descriptions et sections planes classiques==
 
= Contexte =
La première rubrique n’expose pas seulement des propriétés de l’octaèdre et du cube. Elle compare certaines [[#sctions|sections planes]] des deux solides à des sections de dodécaèdre. Elle prépare à l’étude des autres solides en expliquant des concepts utiles, par exemple {{nobr|[[#axedef|la notion d’axe]]}} de certains objets, ou la [[#dualdef|notion de dual]] d’un solide. Grâce à la rubrique des [[#Contre-exemples|contre-exemples,]] l’emploi des adjectifs « régulier » et « convexe » est plus compréhensible.
 
= Dualité =
 
;= Octaèdre et cube =
 
;Octaèdre et cube
Nous interprétons [[#i_1|l’image]] quand nous regardons {{nobr|l’octaèdre de dessus.}} L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. [[w:Perspective (représentation)|La perspective]] donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ''ABC'' et ''HLU'' sont superposables {{nobr|[[w:isométrie|– isométriques –. ]]}} Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet ''A.'' L’arête cachée [''LU ''] est en pointillé, ainsi le veut une règle {{nobr|[[w:géométrie descriptive|de géométrie descriptive.]]}}
 
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<div style="clear: both"> </div>
 
;= Cube et tétraèdre =
 
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_7"> </div>
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<div style="clear: both"> </div>
 
;= Dodécaèdre =
Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. [[#j_10|L’épure {{n°}}10]] montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent '''les plis''' de la feuille : les cinq côtés de la face centrale <span style="font-weight:bold;font-style:italic">RSUVW.</span> Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?
 
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{{clr}}
 
;= Icosaèdre =
 
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un dodécaèdre sont les sommets d'un icosaèdre de Platon [[w:Concentricité|concentrique]] et, inversement, les centres des faces d'un icosaèdre de Platon sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentrique. Les sommets d'un icosaèdre de Platon peuvent être construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes (voir [[commons:Category:Dodecahedron and icosahedron|Dodécaèdre et icosaèdre]]).
{{clr}}
 
;= Contre-exemples =
 
{{Ancre|triangularbipyramid}}Pour qu’un polyèdre soit '''régulier''', il faut que toutes ses faces soient des polygones [[w:Polygone régulier|réguliers]] isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « [[w:diamant triangulaire|diamant triangulaire]] », cet hexaèdre [[w:Ensemble convexe|est convexe.]] Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, {{nobr|soit à quatre.}} Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.