« Solide de Platon » : différence entre les versions

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{{Leçon du jour
| idfaculté = mathématiques
| département = Géométrie
| niveau = 15
| autres projets = oui
| w = Solide de Platon
}}
 
Il existe cinq polyèdres réguliers et convexes, aussi appelés les cinq solides de Platon.
 
== Caractéristique d'Euler et symbole de Schläfli ==
 
{| border=1 style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse; border-color: #aaa;"
|}
{{Clr}}
La [[w:Caractéristique d'Euler|formule]] suivante, vérifiée par  les solides de PlatondePlaton, met en relation les nombres de facesdefaces, d’arêtes et de sommets d’un polyèdre quelconque :
:F - A + S = 2,  où F, A et S désignent respectivement les nombres en  question.
 
== Contexte ==
 
== Dualité ==
 
== Octaèdre et cube ==
 
Nous interprétons [[#i_1|l’image]] quand nous regardons {{nobr|l’octaèdre de dessus.}} L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. [[w:Perspective (représentation)|La perspective]] donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ''ABC'' et ''HLU'' sont superposables {{nobr|[[w:isométrie|– isométriques –. ]]}} Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet ''A.'' L’arête cachée [''LU ''] est en pointillé, ainsi le veut une règle {{nobr|[[w:géométrie descriptive|de géométrie descriptive.]]}}
 
En élévation, les quatre sommets du contour représentent les six sommets du solide, un simple point représente l’arête [''LU ''] ou [''BC '']. Un même triangle est l’image de deux faces, l’une devant le solide, l’autre derrière. Une arête située derrière n’est pas tracée en pointillé, parce que son image est confondue avec le trait plein d’une autre arête, devant le solide.
'''Épure {{numéro}}2.'''<br />Quel que soit le sens de rotation, un quart de tour autour de (''CS '') ou un tiers de tour autour de (''TS '') transforme l’octaèdre en lui-même, et conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de rotation.]]
 
Une '''diagonale d’un polyèdre''' est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère ''circonscrite'' – la sphère qui passe par tous ses sommets –. {{nobr|Le centre ''S''}} de la sphère est le ''centre'' commun des carrés. En effet, on appelle ''centre'' d’un rectangle ou d’un {{nobr|[[w:polygone régulier|polygone régulier]]}} le centre de son cercle [[w:Cercle circonscrit|circonscrit.]] N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le ''centre du solide.''
 
L’information sur ''T'' serait très partielle si nous regardions seulement l’épure {{n°}}2, ou seulement la vue en élévation {{n°}}1. Le point ''T'' est le centre de ''ABC'' : le centre de son cercle circonscrit.
En élévation, le contour a des diagonales perpendiculaires en leur milieu, parce que ''S'' est le milieu de [''AH ''] et de [''LB ''] dans l’espace, et que la projection ne déforme pas l’angle droit formé par l’axe du carré vert et le plan du carré. Ce contour-là du solide est un [[w:losange|losange]].
 
Un plan contenant deux des diagonales d’un polyèdre est un '''plan diagonal''' du polyèdre. Par exemple, le carré vert est une section diagonale de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un octaèdre en est un plan [[w:Symétrie (transformation géométrique)#Sym.C3.A9trie orthogonale par rapport .C3.A0 un plan|de symétrie.]] Il partage le solide en deux pyramides régulières carrées, symétriques l’une de l’autre par rapport au plan de leur base commune. L’axe commun aux deux pyramides est la diagonale de l’octaèdre perpendiculaire au plan de leur base commune. Par exemple, {{nobr|''A'' et ''H''}} sont symétriques l’un de l’autre par rapport au plan du carré vert, {{nobr|(''AH '') est l’axe}} commun aux pyramides ''ALUBC'' et ''HLUBC.''
 
Un tiers de tour autour de (''VT '') dans un sens ou dans l’autre transforme chaque face horizontale en elle-même, donc transforme le solide en lui-même. Une telle rotation conserve aussi toute section horizontale du solide. {{nobr|Dans l’épure 2,}} des plans qui ne passent pas par ''S'' coupent le solide. Tracé en six traits ocre dont trois en pointillé, l’hexagone est horizontal.
 
N’importe quelle section horizontale de l’octaèdre a six côtés, qui sont parallèles deux à deux, parce que tous deux parallèles à deux arêtes opposées horizontales. {{nobr|[[w:Plan médiateur|Le plan médiateur]]}} commun à deux arêtes horizontales est un plan de symétrie du solide, et un plan de symétrie de la section. En un tiers de tour autour de (''VT ''), un côté de la section en devient un autre qui lui est égal, et dont le plan médiateur est un autre plan de symétrie. Conservée par un tiers de tour ou un autre autour de (''VT ''), la section hexagonale est inscriptible dans un cercle horizontal. Ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Ces triangles équilatéraux ne sont pas tracés dans l’épure, ni leur cercle circonscrit.
 
{{Ancre|sctions}}Rangeons dans '''un ensemble ℱ''' tous les hexagones convexes qui ont les sommets de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. La forme d’un élément de ℱ est déterminée par le rapport des longueurs de deux de ses côtés adjacents. On obtient un hexagone de ℱ en coupant par un plan approprié un octaèdre, [[#dodhexag|un dodécaèdre]] ou [[#cubehexag|un cube.]] La forme de l’hexagone varie avec la distance du plan de section au centre du solide. Un solide d’une des trois sortes est symétrique par rapport à son centre, et si deux sections sont symétriques l’une de l’autre par rapport au centre du solide, alors elles sont isométriques. Étant donnés un hexagone de ℱ et un solide d’une des trois sortes, au moins une section du solide est [[w:Similitude (géométrie)|semblable à]] l’hexagone donné.
L’hexagone blanc horizontal appartient à l’ensemble ℱ, ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Sa symétrie par rapport à ''S'' en fait un hexagone régulier.
 
Un plan passant par le centre d’un polyèdre régulier est appelé un '''plan équatorial''' du polyèdre. L’hexagone blanc et les trois sections diagonales carrées sont quatre sections équatoriales de l’octaèdre, qui sont quatre polygones réguliers. Parmi les sections parallèles à une face de l’octaèdre, seules les sections équatoriales sont des polygones réguliers. Un côté quelconque de ces quatre hexagones joint les milieux de deux côtés d’une face. Parallèle au troisième côté, {{nobr|[[w:Théorème des milieux|il mesure&nbsp;]] <math>\tfrac{a}{2}</math>&nbsp;}} la moitié d’une arête.
 
Autour de quatre axes différents de l’octaèdre, communs chacun à deux faces opposées, des tiers de tour conservent un octaèdre régulier. Une rotation d’un [[#i_2|quart de tour]] autour de (''CS '') dans un sens ou dans l’autre conserve n’importe quel point de l’axe de rotation, et conserve aussi la section diagonale bleue, la grande section carrée bleue. Un tel quart de tour conserve l’octaèdre, et laisse inchangé le petit carré bleu.
 
Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans [[#i_2|l’épure 2,]] l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une [[w:homothétie|homothétie]] {{nobr|de centre ''C.'' }} Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (''CS ''), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.
 
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_3"> </div>
'''Épure {{numéro}}3.'''<br />Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.]]
 
Un quart de tour autour de n’importe quelle diagonale conserve l’octaèdre. L’épure 2 attire l’attention sur des quarts de tour autour de (''CS ''), {{nobr|[[#i_3|et l’épure 3]]}} sur des quarts de tour autour de (''AS ''). Malgré l’absence de lettres dans l’épure 3, l’octaèdre est reconnaissable grâce aux couleurs des faces et des arêtes. Et on peut quand même désigner les points par leurs noms.
 
Autour d’une diagonale de l’octaèdre, un demi-tour équivaut à deux quarts de tour successifs dans le même sens. Une rotation de {{unité|180|°}} {{nobr|[[#correctword|est une symétrie]]}} par rapport à l’axe du demi-tour. Les diagonales de l’octaèdre en sont trois axes de symétrie.
 
Dans l’épure 3, le carré vert est le contour du solide. Sur l’axe du carré vert, ''H'' est derrière le solide, son image est confondue avec celles de ''A'' et ''S.'' Les seuls pointillés du dessin représentent les trois côtés consécutifs de l’hexagone blanc qui sont derrière le solide. La perspective représente deux faces par un même triangle, et les centres des deux faces au centre d’une même cible. Peints sur une face triangulaire, les deux cercles orangés d’une cible sont déformés par la perspective. Le centre d’un triangle équilatéral en est [[w:Triangle#Hauteurs et orthocentre|aussi l’orthocentre.]] La projection déforme toutes les faces, et les symboles d’angles droits aux pieds des douze hauteurs.
'''Épure {{numéro}}4.'''<br />Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.]]
 
Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers {{nobr|[[w:Médiane (géométrie)|de chaque médiane]]}} d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. [[#i_3|L’épure 3]] permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre ''K'' de ''ALU'' est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.
 
<span id="dualdef"
title=" Que signifie « dual » ? ">Étant donné un solide de Platon de ''p'' sommets et ''q'' faces,</span> son '''dual''' est un solide de Platon de ''q'' sommets et ''p'' faces, avec le même nombre d’arêtes. Quand on dit que cube et octaèdre sont duaux l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle « du » dual de l’octaèdre avec un article défini, sans avoir précisé davantage de quel solide il s’agit, alors on désigne par « cube » ou par « octaèdre » l’ensemble des polyèdres réguliers {{nobr|en nombre infini,}} tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un cas, huit faces dans l’autre.
 
À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual {{nobr|de même centre ? }} L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, [[#i_8|épure 8.]]
 
{{Ancre|canonicaldual}}Deux solides de Platon sont des duaux ''[[w:Canonique (mathématiques)|canoniques]]'' l’un de l’autre quand '''les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre'''. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.
 
L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre ''S. '' Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre {{nobr|du cube : }} son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (''AH '') sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec ''S'' représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [''VT ''] dans le plan vertical (''ATH ''). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.
 
Présente seulement dans [[#i_4|l’épure 4,]] la lettre ''t'' désigne la hauteur d’une face équilatérale. Rapportée à la longueur d’une arête de l’octaèdre, la distance entre deux arêtes opposées du cube est :<br /><math>\tfrac{TK}{BU} = \tfrac{AT}{t} = \tfrac{2}{3}.</math>
 
La vue en élévation numéro 1 ou 4 n’altère pas la longueur ''AH'' d’une diagonale de l’octaèdre. Quand les sommets du cube sont les centres des faces de l’octaèdre, une arête du cube mesure le tiers d’une diagonale {{nobr|de l’octaèdre :}}<br />''VK'' = <math>\tfrac{AH}{3}</math> = <math>\tfrac{a\,\sqrt{2}}{3}.</math>
 
Certains plans de symétrie d’un cube ou d’un octaèdre régulier contiennent le centre du polyèdre et deux arêtes opposées, ce sont des plans diagonaux du cube ou de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un cube le partage en deux [[w:prismes|prismes]] droits triangulaires. Par exemple, le plan vertical (''ATH '') est un plan de symétrie du cube et de l’octaèdre. En vraie grandeur {{nobr|[[#i_4|dans l’épure 4,]]}} ''VKTE'' est en même temps le contour du cube et sa section par (''ATH ''). L’axe de ''VKTE'' est un axe de symétrie de l’octaèdre et du cube. Il passe par les milieux de deux arêtes opposées du cube, et par les milieux de [''BU ''] et [''LC ''], deux arêtes opposées de l’octaèdre.
 
[[#i_4|Dans l’épure 4,]] le contour du cube est semblable [[w:format de papier|au format A4]] ou à un format de papier semblable, {{nobr|A3 par exemple.}} Les images rectangulaires des faces du cube sont des réductions de ''VKTE'' {{nobr|à l’échelle <math>\tfrac{\sqrt{2}}{2}</math> }}, elles représentent chacune deux faces du cube.
''γ'' apparaît dans [[#i_4|l’épure 4]] comme l’inclinaison de [''AH ''] ou [''VK '']. C’est l’inclinaison de n’importe quelle diagonale de l’octaèdre, ou n’importe quelle arête du cube contenu dans l’octaèdre, puisque la figure est conservée quand on la fait tourner autour de (''TS '') de {{unité|120|°}} dans un sens ou dans l’autre. Entre une diagonale et une face d’un cube, l’angle mesure ''γ.''
 
Visible dans [[#i_1|l’épure {{numéro}}1,]] l’angle entre une diagonale et une face d’un octaèdre mesure ''γ.'' Le supplément {{nobr|de&nbsp; ( 2 ''γ '')&nbsp;}} est l’angle de deux faces adjacentes. Quand un octaèdre régulier a deux faces horizontales, le complément de ''γ'' est l’inclinaison de ses six arêtes obliques, ou l’inclinaison de ses trois plans diagonaux. La lettre ''γ'' désigne la même mesure d’angle sous le prochain titre.
 
<div style="clear: both"> </div>
 
== Cube et tétraèdre ==
 
<div style="clear:both;text-align:right" id="i_7"> </div>
<div style="clear: both"> </div>
 
== Dodécaèdre ==
Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. [[#j_10|L’épure {{n°}}10]] montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent '''les plis''' de la feuille : les cinq côtés de la face centrale <span style="font-weight:bold;font-style:italic">RSUVW.</span> Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?
 
L’homothétie de centre ''Ω'' et de rapport φ agrandit le cube aux fines arêtes jaunes en l’autre cube aux grosses arêtes grises, qui contient le dodécaèdre. Alors plutôt que cinq cubes, associons cinq paires de cubes concentriques à un dodécaèdre de Platon.
 
La vue en élévation {{n°}}12 montre l’angle ''θ '' formé par deux faces d’un cube avec un plan horizontal. Dix arêtes du dodécaèdre communes à deux de ses faces obliques ont la même inclinaison. Des arcs de cercles indiquent deux angles adjacents de mesure ''θ. '' L’inclinaison d’une face oblique du dodécaèdre est le double de ''θ.'' L’angle de deux faces adjacentes est le supplément {{nobr|de&nbsp; ( 2 ''θ '').&nbsp;}} Deux lignes d’écriture inclinées renseignent sur ''θ. '' On peut déduire la valeur de ''θ '' de cette {{nobr|1=égalité : tan ''θ '' = φ – 1.}}
 
Dans les épures {{n°}}13 et {{n°}}14, la vue a la direction de (''RΩ ''). Deux sommets opposés du solide ont leurs images confondues avec celle de ''Ω.'' Le contour du dodécaèdre a douze côtés. Ce dodécagone est inscriptible dans un cercle, ses douze angles mesurent {{unité|150|°. }} En suivant le contour du solide, on rencontre une fois sur deux une arête en vraie grandeur, en alternance avec une image d’arête plus petite.
{{clr}}
 
== Icosaèdre ==
 
Icosaèdre et dodécaèdre de Platon sont [[#Polyèdre dual|duaux]] l'un de l'autre : les centres des faces d'un dodécaèdre sont les sommets d'un icosaèdre de Platon [[w:Concentricité|concentrique]] et, inversement, les centres des faces d'un icosaèdre de Platon sont les sommets d'un dodécaèdre de Platon concentrique. Les sommets d'un icosaèdre de Platon peuvent être construits à partir d'un dodécaèdre de Platon, en prolongeant ses arêtes (voir [[commons:Category:Dodecahedron and icosahedron|Dodécaèdre et icosaèdre]]).
{{clr}}
 
== Contre-exemples ==
 
{{Ancre|triangularbipyramid}}Pour qu’un polyèdre soit '''régulier''', il faut que toutes ses faces soient des polygones [[w:Polygone régulier|réguliers]] isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « [[w:diamant triangulaire|diamant triangulaire]] », cet hexaèdre [[w:Ensemble convexe|est convexe.]] Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, {{nobr|soit à quatre.}} Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.