« Systèmes et représentations » : différence entre les versions
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== Fonction de transfert ==
=== Définition ===
La transformée de Laplace permet de définir la fonction de transfert d'un système linéaire régi par un système d'équations différentielles à coefficients constants, ce qui est impossible avec les équations temporelles.
Soit le système suivant, avec <math>e(t)</math> en entrée et <math>s(t)</math> en sortie :
<math>a_n\frac{d^n\,s(t)}{dt^n} + \ldots + a_1\frac{d\,s(t)}{dt} + a_0\,s(t) = b_m\frac{d^m e(t)}{dt^m} + \ldots + b_1\frac{d\,e(t)}{dt} + b_0\,e(t)</math>
En utilisant les propriétés de la transformation de Laplace, on obtient :
* <math>\mathcal{L}\left[ \frac{d^m\,e(t)}{dt} \right] = p^m\,E(p) - p^{m-1}\,e(0^{+}) - p^{m-2}\,e^{(1)}(0^{+}) - e^{(m-1)}(0^{+})</math>
* <math>\mathcal{L}\left[ \frac{d^n\,s(t)}{dt} \right] = p^n\,S(p) - p^{n-1}\,s(0^{+}) - p^{n-2}\,s^{(1)}(0^{+}) - s^{(n-1)}(0^{+})</math>
Si on se place dans le cas où toutes les conditions initiales sont nulles, on a :
* <math>\mathcal{L}\left[ \frac{d^m\,e(t)}{dt} \right] = p^m\,E(p)</math>
* <math>\mathcal{L}\left[ \frac{d^n\,s(t)}{dt} \right] = p^n\,S(p)</math>
L'équation générale devient donc :
<math>S(p) \times \left[ a_n\,p^n + \ldots + a_1\,p + a_0 \right] = E(p) \times \left[ b_m\,p^n + \ldots + b_1\,p + b_0 \right]</math>
En posant <math>S(p) = H(p) \times E(p)</math>, il vient : <math>H(p) = \frac{b_m\,p^n + \ldots + b_1\,p + b_0}{a_n\,p^n + \ldots + a_1\,p + a_0}</math>.
La fonction ''H'' est appelée ''fonction de transfert'' (ou ''transmittance'') du système. Son unité physique dépend du rapport de l'unité de ''E'' et de l'unité de ''S''.
Par exemple, pour une résistance, si ''S'' représente la tension à ses bornes et ''E'' l'intensité du courant la parcourant, alors ''H'' a pour unité des ohms (<math>\Omega</math>).
=== Ordre, pôle et zéro ===
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