« Fonction logarithme/Exercices/Utilisation des propriétés du logarithme » : différence entre les versions

Si a et b sont strictement positifs, et si n est un entier positif,

* <math>\ln(a^n)=n~\ln(a)</math>

* <math>\ln \left (\frac 1{a^n} \right )=-n~\ln(a)</math>

 

'''2.''' '''a.''' Soit <math>x\in \R</math>

* <math>0=~\ln(1)</math>. On va donc chercher à '''comparer <math>x^2+x+2</math> à <math>1</math>'''

* '''Étude du signe de <math>(x^2+x+2)-(1)</math>''' :

** On s'intéresse à l'équation <math>x^2+x+1=0</math> d'inconnue ''x''.

** Cette équation du second degré a pour discriminant <math>\Delta=1-4 \times 1 \times 1= -3</math>, donc n'admet pas de racine réelle et reste du signe du coefficient de plus haut degré.

** Finalement <math>(x^2+x+2)-1>0</math>, c'est-à-dire <math>(x^2+x+2)>1</math>

* <math>\ln</math> est une fonction croissante

 

 

'''b.''' Soit <math>x \in \R^{+*}</math>

* <math>(x-1)^2 \geq 0</math>

* Donc <math>x^2-2x+1 \geq 0</math>

* Donc <math>x^2+1 \geq 2x</math>

* <math>\ln</math> est croissante