« Intégrales en physique/Intégrales multiples » : différence entre les versions
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Ligne 62 :
* Si on considère une surface infiniment petite d'ordre 2 d²''S'', de longueur infinitésimale d'ordre 1 d''y'' et de hauteur infiniment petite d'ordre 1 d''h'' située à la profondeur ''h'', la force infinitésimale <math>\mathrm d^2\vec F_e(y,h)</math> qu'exerce l'eau sur d²''S'' vaut <math>\mathrm d^2\vec F_e(y,h)=p(y,h)~\mathrm dy~\mathrm dh~\vec x=(p_{atm}+\rho gh)~\mathrm dy~\mathrm dh~\vec x</math>.
* Comme ''p'' ne dépend pas de ''y'', l'intégration sur ''y'' donne directement, à la profondeur ''h'', <math>\mathrm d\vec F_e(h)=\int_{y=0}^{y=L}p(y,h)~\mathrm dy~\mathrm dh~\vec x=\int_{y=0}^{y=L}(p_{atm}+\rho gh)~\mathrm dy~\mathrm dh~\vec x=L(p_{atm}+\rho gh)~\mathrm dh~\vec x</math>.
* Ensuite, sur la surface infiniment petite '''d'ordre 1''' d''S'', de longueur ''L'' et de hauteur infiniment petite d''h'' située à la profondeur ''h'', la force infinitésimale <math>\mathrm d\vec F_e(h)</math> qu'exerce l'eau sur d''S'' vaut <math>\mathrm d\vec F_e(h)=p(h)~\mathrm dS~\vec x=(p_{atm}+\rho gh)L~\mathrm dh~\vec x</math>.
* De l'autre côté du barrage, l'air exerce une force de pression <math>\mathrm d\vec F_a(h)=-p_{atm}~\mathrm dS~\vec x</math>.
* Au total, la surface d''S'' est soumise à <math>\mathrm d\vec F(h)=\rho gh~\mathrm dS~\vec x</math>.
* Pour trouver l'effort exercé sur l'intégralité de Σ, il faut « sommer les contributions de toutes les forces de pression s'exerçant aux profondeurs comprises entre 0 et H sur le barrage » :
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