« Fonctions d'une variable réelle/Convexité » : différence entre les versions

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| niveau = 14
}}
{{Clr}}
 
== Définition et interprétation graphique ==
{{Définition
| contenu =
SoitUne fonction <math>f : I \to \R</math> une fonction définie sur un intervalle <math>I</math> .<brest dite '''convexe sur <math>I</math>''' si, et seulement si :
La fonction <math>f</math> est dite '''convexe sur <math>I</math> ''', si, et seulement si :<br />
<center>
<math>\forall x,y \in I,\, quad\forall \lambda t\in [0;1] \, ,quad f(\lambda xtx + (1-\lambdat) y) \le \lambda f(x) + (1-\lambdat) f(y)</math>.
</center>
}}
 
[[Fichier: Convex Function.svg|thumb|Illustration de la convexité.]]
'''Interprétation graphique :''' Cela signifie que, si <math>A(x,f(x))</math> et <math>B(y,f(y))</math> sont deux points de la courbe représentative de <math>f</math> , alors le segment <math>[AB]</math> est au-dessus de l'arc <math>\overset{{}_{\displaystyle\frown}}{AB}</math> de la courbe de <math>f</math> .
[[Fichier: Convex Function.svg|thumb|Illustration de la convexité]]
{{Clr}}
(Dans cette illsutration , <math>t</math> joue le rôle de <math>\lambda</math> ).
 
== Convexité et continuité ==
[[Fichier: Convex fnx.jpg|thumb|Illustration de l'inégalité des pentes.]]
 
{{Lemme
| titre = Lemme : Inégalité des pentes
| contenu =
Soit <math>f</math> une fonction convexe sur un intervalle <math>I</math> et <math>a<c<b<c</math> dans <math>I</math> .<br />
Alors :
<center>
<math>\frac{f(bc)-f(a)}{bc-a}\le\frac{f(cb)-f(a)}{cb-a}\le\frac{f(cb)-f(bc)}{c-b-c}</math>.
</center>
}}
[[Fichier: Convex fnx.jpg|thumb|Illustration de l'inégalité des pentes]]
 
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Comme <math>bc\in]a;cb[</math> , cela signifie que : <math>\exist \lambda \in ]0;1[\quad |b c= \lambda a +(1-\lambda)cb</math>. Calculons <math>\lambda</math> :<br />
 
<math>b = c =b+\lambda (a-cb)</math> \Rightarrowdonc <math>\lambda =\frac{b-c-b}{a-b}=\frac{b-c}{b-a}</math> .<br />
Alors, puisque <math>f</math> est convexe, on a :<br />
 
<math>f(b) = f(\lambda a +(1-\lambda)c) \le \lambda f(a) + (1-\lambda)f(c)</math>, donc <br />
Alors, puisque <math>f</math> est convexe, on a :<br />
<math>f(b) \le \frac{b-c}{a-c} (f(a)-f(c)) + f(c) \Longrightarrow f(b)-f(c) \le \frac{b-c}{a-c} (f(a)-f(c))</math> d'où l’on tire l'inégalité de droite.<br /> Celle de gauche se démontre de la même manière.
 
<math>\begin{align}f(c)&=f(\lambda a +(1-\lambda)b)\\
&\le \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)\\
&=f(b)-\lambda(f(b)-f(a))\\
&=f(b)-\frac{b-c}{b-a}(f(b)-f(a))\end{align}</math>
 
donc <math>f(b)-f(c)\ge\frac{b-c}{b-a}(f(b)-f(a))</math>, d'où l’on tire l'inégalité de droite.
 
Celle de gauche se démontre de la même manière.
}}
 
Ligne 54 ⟶ 61 :
{{Démonstration déroulante
| contenu =
On considère la fonction "« pente" » définie par : <br />
 
<math>p_{x_0} : \begin{array}[t]{lcl}]a;b[ &\rightarrow & \Bbb R \\
<math>\begin{array}[t]{llcl}
x & \mapsto & p_{x_0}(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
<math>p_{x_0} : \begin{array}[t]{lcl}&]a;b[ &\rightarrow & \Bbb R \\
\end{array}
&x & \mapsto & p_{x_0}(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
\end{array}
</math>
 
Alors on peut montrer en utilisant l'inégalité des pentes que cette fonction est croissante en considérant les trois cas <math>x_0<x<y</math> , <math>x<x_0<y</math> , <math>x<y<x_0</math> .<br />

Elle admet donc une limite à gauche et à droite en <math>x_0</math> finies. Cela montre que <math>f</math> est dérivable à gauche et à droite mais cela implique aussi que <math>f</math> est continue<br /> (on démontre cette implication exactement de la même manière que l'implication <math>f</math> dérivable <math>\Rightarrow f</math> continue).
}}
 
Ligne 69 ⟶ 80 :
| titre = Propriété : Caractérisation des fonctions convexes dérivables
| contenu =
Soit <math>f</math> une fonction '''dérivable''' sur un intervalle <math>I</math> .<br />
 
<math>f</math> est convexe si sa dérivée <math>f'</math> est croissante sur <math>I</math> .
}}
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Il suffit de "« passer à la limite" » dans l'inégalité des pentes.
}}
 
Ligne 85 ⟶ 97 :
 
<center>
<math>f''\ge 0 \Rightarrow f \,\mbox{convexe}</math>.
</center>
}}
Ligne 91 ⟶ 103 :
{{remarque
|contenu =
Les personnes souhaitant approfondir la notion de convexité peuvent consulter la leçon spécialisée : [[Fonctions convexes]].
}}
 
<br />
 
{{Bas de page