« Fonctions d'une variable réelle/Convexité » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m Robot : Remplacement de texte automatisé (- n'est pas + n’est pas , - Aujourd'hui + Aujourd’hui , - d'euros + d’euros , - d'agir + d’agir , - l'apparence + l’apparence ) |
m mef, dont cohérence notations |
||
Ligne 7 :
| niveau = 14
}}
{{Clr}}
== Définition et interprétation graphique ==
{{Définition
| contenu =
<center>
<math>\forall x,y \in I
</center>
}}
[[Fichier: Convex Function.svg|thumb|Illustration de la convexité.]]▼
'''Interprétation graphique :''' Cela signifie que, si <math>A(x,f(x))</math> et <math>B(y,f(y))</math> sont deux points de la courbe représentative de <math>f</math>
▲[[Fichier: Convex Function.svg|thumb|Illustration de la convexité]]
{{Clr}}
== Convexité et continuité ==
[[Fichier: Convex fnx.jpg|thumb|Illustration de l'inégalité des pentes.]]▼
{{Lemme
| titre = Lemme : Inégalité des pentes
| contenu =
Soit <math>f</math> une fonction convexe sur un intervalle <math>I</math> et <math>a<c<b
Alors :
<center>
<math>\frac{f(
</center>
}}
▲[[Fichier: Convex fnx.jpg|thumb|Illustration de l'inégalité des pentes]]
{{Démonstration déroulante
| contenu =
<math>
Alors, puisque <math>f</math> est convexe, on a :<br />▼
<math>\begin{align}f(c)&=f(\lambda a +(1-\lambda)b)\\
&\le \lambda f(a) + (1-\lambda)f(b)\\
&=f(b)-\lambda(f(b)-f(a))\\
&=f(b)-\frac{b-c}{b-a}(f(b)-f(a))\end{align}</math>
donc <math>f(b)-f(c)\ge\frac{b-c}{b-a}(f(b)-f(a))</math>, d'où l’on tire l'inégalité de droite.
Celle de gauche se démontre de la même manière.
}}
Ligne 54 ⟶ 61 :
{{Démonstration déroulante
| contenu =
On considère la fonction
<math>p_{x_0} : \begin{array}[t]{lcl}]a;b[ &\rightarrow & \Bbb R \\▼
<math>\begin{array}[t]{llcl}
x & \mapsto & p_{x_0}(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}▼
\end{array}▼
</math>
Alors on peut montrer en utilisant l'inégalité des pentes que cette fonction est croissante en considérant les trois cas <math>x_0<x<y</math>
Elle admet donc une limite à gauche et à droite en <math>x_0</math> finies. Cela montre que <math>f</math> est dérivable à gauche et à droite mais cela implique aussi que <math>f</math> est continue }}
Ligne 69 ⟶ 80 :
| titre = Propriété : Caractérisation des fonctions convexes dérivables
| contenu =
Soit <math>f</math> une fonction '''dérivable''' sur un intervalle <math>I</math>
<math>f</math> est convexe si sa dérivée <math>f'</math> est croissante sur <math>I</math>
}}
{{Démonstration déroulante
| contenu =
Il suffit de
}}
Ligne 85 ⟶ 97 :
<center>
<math>f''\ge 0 \Rightarrow f \,\mbox{convexe}</math>.
</center>
}}
Ligne 91 ⟶ 103 :
{{remarque
|contenu =
Les personnes souhaitant approfondir la notion de convexité peuvent consulter la leçon spécialisée : [[Fonctions convexes]].
}}
{{Bas de page
|