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« Fonctions d'une variable réelle/Convexité » : différence entre les versions

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m →‎Convexité et continuité : fin de démo + Style
Ligne 56 :
Toute fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue.
}}
Nous admettrons cette propriété, de niveau supérieur à celui de ce chapitre.
 
{{Démonstration déroulante
| contenu =
On considère la fonction « pente » définie par :
 
<math>\begin{array}[t]{llcl}
p_{x_0}:&]a;b[ &\rightarrow &\R\\
&x & \mapsto & p_{x_0}(x) = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
\end{array}
</math>
 
Alors on peut montrer en utilisant l'inégalité des pentes que cette fonction est croissante en considérant les trois cas <math>x_0<x<y</math>, <math>x<x_0<y</math>, <math>x<y<x_0</math>.
 
Elle admet donc une limite à gauche et à droite en <math>x_0</math> finies. Cela montre que <math>f</math> est dérivable à gauche et à droite mais cela implique aussi que <math>f</math> est continue (on démontre cette implication exactement de la même manière que l'implication <math>f</math> dérivable <math>\Rightarrow f</math> continue).
}}
 
== Convexité et dérivabilité ==
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