« Arithmétique/PGCD » : différence entre les versions

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}}
 
=== Diviseurs communs à deux entiers naturels ===
Deux entiers naturels non nuls ont toujours un nombre fini de diviseurs et donc de diviseurs communs (dont –1 et 1). Il existe donc un diviseur commun à ces deux nombres plus grand que les autres.
 
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'''Conséquence''' : <math>b|a \Leftrightarrow pgcd(a,b) = b.</math>
 
=== Lemme d'Euclide ===
 
{{Lemme
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}}
 
=== Algorithme d'Euclide ===
Soient <math>(a,b)\in \N^{*2}</math> tels que <math>a>b</math>
 
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'''Conséquence :''' Les diviseurs communs à deux entiers naturels non nuls ''a'' et ''b'' sont les diviseurs de ''pgcd''(''a'', ''b'').<br /> Ceci fournit une définition alternative du PGCD.
 
=== Propriétés du PGCD ===
 
{{Propriété
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'''Conséquence : ''' si <math>k</math> est un entier naturel non nul, diviseur commun à <math>a</math> et <math>b</math>, alors <math>pgcd\left (\frac{a}{k},\frac{b}{k}\right )=\frac{1}{k}\times pgcd(a,b).</math>
 
=== Extension du PGCD aux entiers relatifs ===
 
{{Définition
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}}
 
=== Nombres premiers entre eux ===
 
{{Définition