« Introduction aux suites numériques/Suites géométriques » : différence entre les versions

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== Somme des termes d'une suite géométrique ==
 
<center>{{Théorème
| contenu=
La somme des <math>n+1</math> premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :
 
<center><math>u_0 + u_{1} u_1+ \cdots + u_n =u_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math></center>
}}
}}</center>
 
Plus généralement :
On peut également utiliser la formule plus générale :
 
<center>{{Théorème
|titre = Formule générale
|contenu = La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique <math>(v_n)</math> de raison <math>q</math> du rang <math>pi</math> au rang <math>nj</math> s'exprime par : <br />
<center><math>u_p v_i+ u_v_{pi+1} + \cdots +u_n v_j= u_p v_i\times \frac{1-q^{nj-pi+1}}{1-q}</math></center>
}}
}}</center>
 
{{démonstration déroulante
| contenu =
Soit <math>S_n:=u_0 + u_1+\cdots + u_n</math> la première somme à calculer. On écrit
:<math>S_n=u_0+u_0q+\dots+u_0q^n</math>
puis on multiplie les deux membres de l'égalité par <math>1-q</math> :
:<math>\begin{align}
(1-q)S_n&=(1-q)(u_0+u_0q+u_0q^2+\cdots+u_0q^n)\\
&=u_0+u_0q+u_0q^2+\cdots+u_0q^{n}\\
&{\color{White}{}=u_0}-u_0q-u_0q^2-\cdots-u_0q^n-u_0q^{n+1}\\
&=u_0-u_0q^{n+1}\\
&=u_0(1-q^{n+1})
\end{align}</math>
(c'est une [[w:Somme télescopique|somme télescopique]]).
 
Finalement, on trouve :
:<math>S=u_0\cfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.</math>
La seconde somme se calcule de même, ou se déduit de la première en posant (pour <math>k</math> de <math>0</math> à <math>n:=j-i</math>) <math>u_k:=v_{i+k}</math>.
}}
 
=== Calculs de sommes ===
En utilisant la formule,