« Introduction aux suites numériques/Suites géométriques » : différence entre les versions
Contenu supprimé Contenu ajouté
m →Exercice : cf. sommaire en haut, plus complet |
→Somme des termes d'une suite géométrique : transfert d'une démo doublon de w:Série géométrique |
||
Ligne 83 :
== Somme des termes d'une suite géométrique ==
| contenu=
La somme des <math>n+1</math> premiers termes d'une suite géométrique est donnée par la formule :
<center><math>u_0 +
}}
Plus généralement :
|titre = Formule générale
|contenu = La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique <math>(v_n)</math> de raison <math>q</math> du rang <math>
<center><math> }}
{{démonstration déroulante
| contenu =
Soit <math>S_n:=u_0 + u_1+\cdots + u_n</math> la première somme à calculer. On écrit
:<math>S_n=u_0+u_0q+\dots+u_0q^n</math>
puis on multiplie les deux membres de l'égalité par <math>1-q</math> :
:<math>\begin{align}
(1-q)S_n&=(1-q)(u_0+u_0q+u_0q^2+\cdots+u_0q^n)\\
&=u_0+u_0q+u_0q^2+\cdots+u_0q^{n}\\
&{\color{White}{}=u_0}-u_0q-u_0q^2-\cdots-u_0q^n-u_0q^{n+1}\\
&=u_0-u_0q^{n+1}\\
&=u_0(1-q^{n+1})
\end{align}</math>
(c'est une [[w:Somme télescopique|somme télescopique]]).
Finalement, on trouve :
:<math>S=u_0\cfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.</math>
La seconde somme se calcule de même, ou se déduit de la première en posant (pour <math>k</math> de <math>0</math> à <math>n:=j-i</math>) <math>u_k:=v_{i+k}</math>.
}}
=== Calculs de sommes ===
En utilisant la formule,
|